定積分の部分積分法の問題です。 別解として説明されている部分が理解できないので教えてほしいです！

392 基本例題 235 定積分の部分積分法 (2) ･･･ 同形出現 200 a は 0 でない定数とし,A=Ste-a このとき, A,Bの値をそれぞれ求めよ。 B: re-axsin2xdx, B=fe-ax cos 2xdx とする。 指針▷ p.363 重要例題217と同様, 部分積分法により A,Bの連立方程式を作る。 [1] A=(-a) 's sin 2x dx, B=(-a) 車方 cos 2xdx とする。 [2] A=S²e-ax(_cos A-ffe-alf-Cog2xdx, B=fferal( sin'x) dx とする。 cos2x) B=S"e-ax( いずれの方針でもよいが,ここでは [1] の方針で解答する。 [別解 解答 A= -S(-a) sin 2x dx e-ax ax ax [-a sin 2x]-a 2 cos 2x dx = 2B 0 a B=(-a) cos 2x dx ! s4= 積の積分 ersinx, e*cosx なら同形出現のペアで考える e-axsin2x)', (e-ax cos 2x) を利用して, A,Bの連立方程式を作る。 Spol axc T CT -ax =[ez cos 2x] - Snea (-2sin 2x)dx o-a [e-arsin23 sin 2x]"*- x Jo -² (1-e **)-²2A.... 24867 znia--laniel かれる。 alaxial ‚êŠTAT: 練習 (3 3 235 ²6²- | < 1 - 0 - - - - - - - | ①からB=1/2/A STANSHORT これを②に代入して 2 -(1-e-a), B= したがって A= 別解 a²+4 解(e-axsin2x)'= '=-aex sin 2x+2e-ax cos 2x (e-axcos 2x)'=-aex cos2x-2ex sin 2x であるから *=-a4+2B, [e-ar cos 2x] = *cos 2x =-aB-2A 1/2A=1/12(1-6-²)-2A 1-e-an) a ① (上の指針の方針 [2] による 解法) 04-[e-ax(_CO$2x)]* a a a² +4 1200 (1-e-a) よって aA+2B=0, -aB-2A=e-an-1 この2式を連立して解くと, 上と同じ結果が得られる。 重要 217, 基本 234 [類 札幌医大 ] (1) Sex sinxdx を求めよ。 R (2) (1) の結果を用いて, xe "sinxdx を求めよ。 a 2 cos e e-ax cos 2xdx I-e-an)-2B, B=[e-er sin 2x ] 1 -ax Jo 0 + Sexsin 2x dx (c) A から A, B を求める。 (2+²) A = ² (1-e-*) 積の導関数 (uv)'=u'v+uv 両辺を積分する。 PES 指 1

四角で囲った部分なのですが、私はtについて微分だからxはそのままだと思っていたのですが、xも微分するんですか？

368 重要 例題221 無理関数の不定積分(2) x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 (1) S (2) √√x²+1 dx 基本220 指針▷根号内が2次式の無理関数について,'-x"や、x+α" を含むものはそれぞれ x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが,後者の場合、計算が面倒になることか ある(次ページ参照)。そこで,x+ A(Aは定数) を含む積分には, 【CHART 解答 1 √x²+1 x+√x+4=t とおく(････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。 (2)x+1=(x/√x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。 √x²+Ã ħŽU¯_x+√√x²+A=t&< (1)x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt √√x² +1+x ゆえに CHART √²+1 よって ゆえに -dx よって dx=dt すなわち 1 √x²+1 1 2+1 316407==x√x²+1=√x²+1=1 dx +x=1 .JJE √1250 >=x√x²+1 =√(√x²+1=√x²+1 (1) の結果から したがって x}dt=log|t|+C =log(x+√√x²+1)+C (2) √√x²+1 dx = S(x) √x²+1 dx=x√x² +1 -√√√₂x²+1 dx 2 -dx= ・dt t (1) S √x²+1 • S√x ² + q ² dx 5572853PY 2√√x²+1 dx=x√x³+1+√√√²+1 dx √ √x ² + 1 dx = 1/² ( x √/ x ² + 1 + √ √/ x ² + 1 x S=1/12(x+ 1 dx x2+1 練習 ⑩221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。 dx =x√³x²³ +1 -√√√x ² + 1dx + S₁ 15) (T -dx √x2+1 -dx=dt 00000 (2) √√√x² + a²³ dx ◄(√x²+1) = {(x²+1)²}, =(x²+1) • (x²+1) 2x 2√x2+1 = S√x+1dx=1/{xv/x+1+10g(x+√x+1)}+C 1+1+x) x+√x²+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 x x2+1 |x+1>x=|x|から x+√x2+1>0 よって, 真数は正である。 < x2+1=(√x2+1)^ に着目 して,分子の次数を下げる。 同形出現。 →p.363 の解答でIを求 めるのと同様の考え方。 +/yo に (1) の結果を利用。 (3) S dx SA よって

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

なぜ青線のようになるのでしょうか？

302 重要 例題 195 無理関数の積分 (2) (特殊な置換積分) (1) 不定積分 S7 √√x² +1 (2)(1) の結果を利用して,不定積分 fvx+1dx を求めよ。 CHARTO SOLUTION おき換えが指定された不定積分 指定された文字で総入れ替え また 「解答」 (1) √x2+1+x=t とおくと 160 (1) 無理関数x2+αの形を含む (ここでは α=1) 不定積分はx=tant と置 換しても求められるが, 計算が煩雑。 与えられた置換に従って計算しよう。 (なお, tan で置換する解法は基本例題202で学習する。) 同形出現 (2) x2+1=(x) x2+1 として部分積分法利用 → x+√x2+1 √x²+1 -dxをx2+1+x=t の置換により求めよ。 よって, したがって Spydx Sidt=logt+C=log(x+1+x)+C -dx= √x² +1 dx = dt から dx (2) √√x²+1 dx = S(x)'√x²+1 dx=x√x ² + 1 = √√√x ² + 1 esindenr √√₁/²+1 dx = f (x²+1)=1 dx x2+1 AMERIC PRACTICE･･・ 195④ x +1dx = dt x² +1 (1) 不定積分 ∫ 1 1 -dx=/dt √√x² +1 111711-1)(x200- 1 = √√x ² + 1 dx-S²/₁² + ₁ dx =x2+x-S- x2+1 *₂7 S√x²+1dx=x√x²+1-(√√x²+1 dx - √√x²³+1 = 2 2- - Dic/)(1- (1) 2√√x²+1dx=x√x³+1+log(√x²+1+x)+C₁ から x2+2x+2 (-)-s-n1(f)+1200x dxnnie同形出現 -dx ゆえに SvxIx1/(x+1+log(x+1+x)}+C 1/2-C とおく。 6 ino ros 基本187 ◆x+√x²+1=tから t -dx=dt √√x² +1 √x²+1>|x| から t>0 ◆ 部分積分法 1)+x800x ACI- 3 [=1²01 1=x200 J* =dxをx2+a+x=t(aは定数)の置換により求めよ。 なりに立つことを証り 1161 (2)(1) の結果を利用して,不定積分x2+2x+2dx を求めよ。 C (1

数3積分の問題で最後の行で急に1/2が出てくる理由を教えていただきたいです🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

-Se'sin.xdx 新 Sercos.rdx=Se"(sinx)dx=e"sinx-Je*sinaxda icos.xdx=\e*(sinx) dx=e*sinxm 解答 e* le' sinx=e\- =e*sinx-|e"(-cos.x)+Je*cosxdx} cos x)+ COS X 同形出現 =e*(sinx+cosx) -le*cos.x dx よって,積分定数を考えて Je*cos.xdx=se"(sinx+cosx)+C Serca 2

どうして I＝ に置き換えるんですか？

ここで,前ページの基本例題216同様, 部分積分法を再度用いて①の中の\e" cosxdxを "sinxdx を求めよ。 不定積分* 363 基本 216 Se'sinxdx=\e"ysinxdx=e'sinx-{ 指針> 部分積分法により 重要218 le cosx dx 計算すると、もとの積分\ers 求める。または Se'cos.x dx=\(e*)' cos x dx=e"cos.x+\e"'sinxdx の sinxdx(=Iとする)が現れるから, Iの方程式を導いてIを 7章 31 ② であるから, T-\e*cos x dxとすると, ①, ②より I,Jの連立方程式が得られ, これを解いてI,Jを求 っt めるという方針で進めてもよい(ここで, IはJで, JはIで表されているから, I, Jを同 形出現のペア ということができる)。 なお,別解では, e*sinx, e*cos.x を微分した式に注目する方針で進めている。 CHART 積の積分 e*sinx, e"cos.xなら同形出現のペアで考える 解答 1=)e*sinxdx とする。 I=\(e")'sinxdx=e"'sinx-\e*cos.xdx =e*sinx-\(e*)°cos .x dx (-cosx)'dx と考えて もよい(結果は同じ)。 ac =e'sinx-(e" cos.x+ 4同形出現。 200 =e*sinx-e* cos x-I よって21=e*sinx-e*cos x 1 「不定」の意味で積分定 Cをつける。Cはまと 最後につけるとよい。 積分定数を考えて I=-e(sinx-cos.x)+C 開 /-Se"sin.xdx, J=Sercosxdx とする。 (e*sinx)'=e*sinx+e*cos.x (e*cos x)'=e*cosx-e*sinx であるから,2つの式の両辺を積分して e*sinx=I+J 和の (1, Jの連立方程式 (積分定数Cを落 ように。 の の, e*cos.x=J-I· 1 (D-2)-2から 1=se(sinx-cos.x)+c 不定積分の置換積分法·部分星

部分積分の同形出現で積分定数を書く時を教えてください。

下から3行目の、①、②から〜のところがなぜそのようになるのかわからないです。よろしくお願いします。

重要例題 221 p.339 基本事項項2, 重要 216,220 m, nを0以上の整数として, Im.n=°sin"xcos"xdx とする。 次の等式を証明せよ。 ただし, sin'x=cos°x=1である。 n-1 -Im.n-2 (n>2) m+n (1) Im.n=In.m (2) Im,n 指針>(1) sin (-)-cos.x, cos(ーx)=sinx [sin と cos が入れ替わる]に注目し、 ーx=cos x, cos 2 2 T X= 2 ととおき換えて計算し,後で変数tをxに直す。 (2) sin"xcos"x=(sin"xcosx)cos"-! x として部分積分法 を用いる。 x=sin"xcos"12x-sin"xcos"x から 同形出現。 更に,sin"+2 n- XCos"-2 解答 (1) x= 2 1とおくと dx=(-1).dt x 0 → xとtの対応は右のようになる。 π t 0 よって Im,n=sin"x cos"xdx 2 2 T ーtcoS 2 0cos" (ー)(-1)dt=; sin"xcos":xdx=Imm sinm n, (2) n22のとき 'x cos" x dx=\(sin"xcosx)cos"-xdx=\| m+1 Sinm+1 Cos”xdx 、n-1 sin"+! xcos' n-1 x sin"+1x m+1 . (n-1)cos"-2x(ーsinx)dx m+1 n-1x x cos" m+1 (sinm+1 n-1 m+2 m+1JSin"*x cos"-2x dx また(sin**xcos"x xdx=\sin"xcos"-2x(1-cos'x)dx m+2 n-2 x COS' =\sin" xcos"-2x dx-\sin"xcos"x dx 0, 2 から sin"x« sin"+1 x cos" -1 x x Cos"x dx= n-1 |sin"xcos"-2x dx m+n m+n) ゆえに 'sin"xcos"xdx= sin"+!x cos"。 n-1 x n-1( m+nJo 2 m+n sin"x cos"-2x dx Jo したがって Im,n n-1 Imn-2 m+n |N

書き込みで見づらくて申し訳ありません。 (2)での変形がなかなか思いつかないのですが、コツなどあれば教えて頂きたいです。 自分で思ったのはcos^n-2x を登場させるためにcos^n-1xを部分積分の微分側にして、結果としてsin^m+2xが出てきてしまうけれど、sin^... 続きを読む

重要 例題237定積分と漸化式 (2) OOOO0 nを0以上の整数として, Im.n=\ sin"xcos"xdxとする。 m。 0 |次の等式を証明せよ。ただし, sin°x=cos°x=1 である。 (1) Im.n=In,m (2) Im.n- n-1 夜-4(n22) m+n p.390 基本事項 2, 重要218,236 針>(1) sin ーx=COSx, COs 2 cos(ー -x)=sinx [sinと cos が入れ替わる] に注目し, x=-tとおき換えて計算し,後で変数さをxに直す。 (2) sin"xcos"x=(sin"xcos.x)cos-1x として 部分積分法 を用いる。 更に、sin"+2xcos"-2x=sin"xcos"-?x- Isin"xcos"x から 同形出現。 ガー2 解答 0 x=ー --tとおくと dx=-dt 元 xとtの対応は右のようになる。 2 x 元 よって Im= sin"xcos"xdx t 0 2 0 cos"(-):(-1)dt=\} sin":xcos":xdx==/.m 2) n22のとき Ssin* 4ぎは確使 からやる x cos"x dx=\(sin"xcosx)cos" sinm+1x COS ) os xde ー1xdx= 、-1xdx m+1 (sin"+1xcos"ー!x Ssinm *(n-1)cos"-2x(-sinx)dx #ー m+1 sin+1 x COS m+1 -1文 カ-1 群+2 m+と xCos da の また Ssin*xcos""xdx=Ssin"xcos"-?a{-coss -Jsin"s x dx= 加+2 一2 XCOS -cos"x) -Jein"xcosx dx-\sin"xcos"xdx の の, のから (sin"xcos"xdx= Sinm*!xcos"-!x Ssin" n-1 m+n x cos"x dx= sin"xcos"-? xdx m+n 「sin"+1xcos"-1 slx1f+ カS sin"xcos"="xdx ゆえに sin"x cos"xdx= n-1( m+n Jo n-1Imn-2 したがって Im= m+n

なぜ2ぶんの1 がつくのですか?

部分積分法(同形出現) 例題 43 不定積分\e*sinxdxを求めよ。 開封本のチゴ代 え分 部分積分法を2回適用すると,同じ形が出てくる。(x)八関 e fesinxdx=S(ce")sinxdx=e"sin.x-Se"cos.xds 次の定額分を早ぜ'sinx-Sce^)cos.x dx=e"sinx-{fe" cos.x-Se"(-sinx)de| Se'sinxdx=\(e*)sinxdx=e*sinx-\e", CoS x dx --fe'cosx- Je(-sinz)ds| 165 Icosx Fe*sinx-e*cosx- x-Je'sinxdx Se'sin.xdxf よって 1 e*(sinx-cosx)+C(Cは積分定数) 。 2 2