最大最小問題の解き方は、グラフを描く以外に (ア)みたいに( )^2の形を作るというのはよくあるパターンですか？ その解き方のメリットとデメリットはなんですか？

1/12 #16 2:30 11 2 変数関数等式の条件がない場合,ある場合 (ア) (1) エリの関数P='+3 +4 - 6y+2の最小値を求めよ. また,そのときのェリの値 を示せ. 2)0x3.0Sys3のとき (1) の関数Pの最大値および最小値を求めよ. また,それぞれ の場合のェyの値を示せ. (3)エリの関数Q6ry +10g²-2x+2y+2の最小値を求めよ. また,そのときのエリ の値を示せ. ( 豊橋技科大) である. x+y=1, r200のとき、2y2の最小値は [ 最大値は (関西大理工系,改題) の2次の2変数関数 変数が2個以上あっても、等式の条件などなくてそれぞれ独立に(無関 に) 動けるとき,平方完成によって2次式で表された関数の最大・最小値を求めることができる.具 体的には、の2次式があるとき、まずその2次式をェの式と考えて (yは定数と見なす) 整理し, 平方完成する。 すると定数項はェを含まない」の式(2次式)で、それをリについて平方完成する。 等式の条件 1次の等式の条件が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するのが原 則的な手法である。 (イ)の場合、等式の条件からェをで表すことができる. この際 (イ)☆消去される文字ェについている条件(20) に反映させるこのc ことを忘れないように,結局, (イ)は見かけは2変数関数であるが、実質的には1変数関数にすぎない。 解答() () ()のお =02121 23-00 p-table まずェについて整理 ⇒因に?ちがうする (ア) (1) P=x2 +4 +3y2-6y+2 =(x+2)2+3g2-6y-2=(x+2)243(y-193-5 これはx=-2,g=1のとき最小値5をとる Pa (2) ① は, x+2」が大きいほど, y-1が大きいほど大きい。よって 3 y=3のとき最大となり, 最大値は 3のとき,①はx=3, 52+3・22-5=32である. また, x=0 y=1のとき最小となり,最小値は 2-5=-1である。 (3) Q=2-2(3y+1)x+10y2+2y+2 =(x-(3y+1))-(3y+1)²+10y²+2y+2 0 ={z-(3y+1))2+y2-4y+1={(3y+1)+(y-2)2-3 y-2=0 かつェ= 3y +1, すなわち,y=2,x=7のときに最小値-3をとる (イ)x+y=1により,r=1-yx20,420により,Osysl x-2y2=1-g-2y=-2(y+1+1/ これは①のとき,y=1で最小値1-1-2=-2,y=0で最大値1をとる. 11 演習題(解答は p.59) まずェについて整理 ①ェを消去した方が、少しラク. 1-g-2y2に代入. w 実数x, y, zの間にx+2y+3z=7という関係があるとき,+y'+2の最小値 と、そのときのエリ, zの値を求めよ. (早大 人間科学) (イ) (1) +2y=10のとき,'+y2の最小値とそのときのx、yの値を求めよ。 (2) g (x)=15-50 とする. +2y=100,120 のとき, 2g(x)+g(x)の最大値、最小値とそのときのz,yの値を求めよ. 44 条件 しっかり (尾道大) (ア)(イ)とも1文字消去 をする。

⑵の問題です。 aについて場合分けする時、ⅰ〜ⅲ全てに不等号にイコールがついているのはなぜですか。積分の時はつけたほうがいいのでしょうか。教えてください🙇‍♂️

次の定積分を求めよ. 2. (1) S√x-1dx 2. (2) S] x - a dx

この問題の考え方を教えて下さい🙏

例題50 aは定数とする。関数y=-x2+4ax-a (0≦x≦2) の最大値を求めよ。 y=(x-2a)2+4az-a

最大最小問題についてです。 (2)です。解答では平方完成を用いることで、答えを出しています。自分は偏微分をすることで答案を作りました。すると答えが違います。何がいけなかったのでしようか？ よろしくお願いします🙇

2 次のような4つの未知数 X1,X2,X3,X4 をもつ連立1次方程式を考える。 x+x2+x3 =0 '11 10 2x1+5x2-x3+3x4 = 0 25 -1 3 係数行列 : x1+3x2 -x3+2x = 0 13-12 2x1+3x2+x + x4 = 0 23 11/ 次の(1),(2)に答えよ。 (1)上述の連立1次方程式の係数行列の列ベクトルのうちで,なるべく少ない個 数の列ベクトルを用いて, それらの1次結合 (線形結合) によって, その他の 列ベクトルを表現せよ。 (2) 上述の連立1次方程式の解 X1,X2, X3, x4 のうちで, (x-1)+(x2-1)+(x-1)2+(x-1) 2 を最小にするものを求めよ。 〈大阪大学 基礎工学部 >

最大最小問題です。

α を実数とする。 関数 y=-x+4x (x≧a) の最大値が3となるときのαの値を求めよ。 また, 関数 y=-x+4x (a≦x≦a+3) の最大値が4になるときのαの値の範囲を求め よ。 〈福岡大 〉

同じ文字の置き換えの問題です チャートの方は最後xの値まで求めていますが 文系の数学の方は最小値のみです xの値を求めるか求めないかの違い、見極め方を教えてください

10 置きかえの利用 MXFORES x が実数全体を変化するとき 関数y=(x2-2x)2 +4 (x2-2x) の最小値 を求めよ. (北海道工業大) [解答] y=(x2-2x)2+4(x2-2x) x2-2x=t とおくと、①より y=t² +4t =(t+2)2-4 ここで,t=x2-2xより, ...2 t=(x-1)2-1 となるから、 xが実数全体を変化するとき, tの範囲は t≧-1 である. t≧-1 において② のグラフは右のようになるから, t=-1のときにy は最小となり, 最小値は, (-1)²+4(-1)=-3 文系 数学の必勝ポイント・ JURN 0 FX 1 -2-1 t=x2xのとき t≧-1である ことがグラフから分かる 2次関数 t=x2-2x yy=(t+2)²-4 置きかえの注意 置きかえをしたら, 新しい文字のとり得る範囲を確認する 0 -3 -4 解説講義 関数を扱うときに,置きかえはよく行われる操作である. 本間は置きかえをするときの注 意事項を確認する問題である. ②のグラフの頂点に注目して 「最小値は-4」 と間違えた人 はいないだろうか? HANDS yはxを変数として①の式で定められている. ①をそのまま扱おうとすると4次関数になっ てしまうので, x2-2xが2ヶ所にあることに注目し, x2-2x=t と置きかえてyをtの2次関 9 で勉強したように、 関数の最大最小 数として扱う.しかし, ここに落とし穴がある! は 「正しい範囲で正しい関数を分析」 しなければならない.tの2次関数として扱うのであ れば、「正しいもの範囲』で②の関数を分析する必要がある. 問題文にはすべての実数をとっ て変化すると書いてあるが,tのとり得る範囲は書かれていない. したがって, t=(x-1)²-1 と変形してものとり得る範囲が≧-1 であることを求めて, この範囲で ② の関数の最小値を 求めなければならない. 式を見やすくしたりするために安易に置きかえを行うと痛い目にあう. 「置きかえをした ら、新しい文字のとり得る範囲を確認する」ということをつねに注意するようにしよう. -t 19

tの範囲を求める時に0≦θ<2πだから2πは含まないから、tの範囲は-1<t≦1で-1は含まないと思ったんですがなぜ含むのですか？分かりやすく解説お願いします！

例題 146 三角関数の最大 最小 (1) ･･･ おき換え 基本 関数 y=4sind-Acos0+1 (0≦0<2ヶ)の最大値と最小値を求めよ 20070 のときの日の値を求めよ。 指針 ① 複数の種類の三角関数を含む式は,まず1種類の三角関数で表す。 かくれた条件 sin'0+cos'0=1 を用いて, y を cose だけの式で表すと、りは 878-1-626) についての2次関数となる。 ② 処理しやすいように, cose を tでおき換える。このとき,tの変域に注意! ③ t の2次関数の最大最小問題 (-1≦t≦1) となるから, 後は に従って処理する。 ⑩ 2次式は基本形に直す CHART 三角関数の式の扱い y=4sin²0-4cos0+1 = 4(1-cos²0)-4 cos 0+1 0-1-nie-0³ai-s =-4 cos²0-4 cos 0+50=(1+0nie S)(1-0 niz) YA =-4 (t+1/2)² + 6 ① の範囲において,yは cos0=tとおくと, 0≦0<2のとき -1≤t≤1 ① yをtの式で表すと y=-4t²-4t+5 -- 1/23 で最大値6, ● t=· t=1で最小値-3 をとる。 0≦0 <2πであるから 1種類で表す sin cos の変身自在に sin²0+c06 > t=- 1/12 となるのは,COSO- 最大 6 -3 15 10 2 1 ■最小 2006-8-200 S (1-2005)(8-0800) 11/13から から0=- t=1となるのは, cos0=1から 4 したがって 2012/31 12/31のとき最大値6; 0=0のとき最小値-3 1 2 = ²/3-t, ・π, 4 3 基本 145 基本 t π | sin20+ cos20=1 cosだけで表す。 tの変域に要注意! 4-4t²-4t+5 =-4f+t+ == T 0=0 HAT 0<1-08-1 1 12

三角関数の問題です 解説の黄色いライン部分の意味がわかりません。 -1≦X≦1と思ったのですがなぜこのような形に なるのですか？教えて下さい🙇

そ 第163\ COS 6 解答 例題 基本例 147 三角関数の最大・最小(2) 文字係数を含む *** 2-sin²0 (10)の最大値をaの式で表せ。 -2a cos 前ページの基本例題 146と同様に、 2次関数の最大最小問題に帰着させる。 ① まず, cos の1種類の式で表し, cos0=xとおくと 指針 y=x2+2ax+1 CHART 三角関数の式の扱い 0≤x≤1 ②2 ① 変数のおき換え 変域が変わるに注意すると したがって、 0≦x≦1における関数 y=x2+2ax+1の最大値を求める問題になる。 よって、軸x=-αと区間 0≦x≦1の位置関係で,次のように場合を分ける。 軸が区間の [1] 中央より左側 [2] 中央と一致 [3] 中央より右側 y=2acos0+2 - sin²0 =2acos0+2-(1-cos20 ) =cos20+2acos0+1 cos0=x とおくと y=x2+2ax+1 π であるから 0≤x≤1 f(x)=x2+2ax+1とすると :¯¯ƒ(x)=(x+a)²+1−a² y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=-a 1種類で表す sin cos の変身自在に sin²0+cos'0=1 また、区間 ① の中央の値は 1/12/ [1], y=f(x) 軸 f(0)=1, f(1)=2a+2 [1] -a < 1/12 すなわちa> -1/2/20 の とき,最大値は f(1)=2a+2 [2] -a = 1/12 すなわちa=- とき, 最大値は f(0)=f(1)=1 [3] -a> /1/23 すなわちa<- とき, 最大値は f(0)=1 よって 1 この am as - 1/2のとき1 1 20 [E] 1 2 a> 11/12 のとき 24+2, 1 0-a1 2 1 1 [2]y=f(x) 0 0 最大 最大 1 2 [3] y=f(x) 最大 軸 1 1 1 最大 1 X 1 1 OO -al x ･基本 146 X sin²0+cos20=1 cos だけで表す。 237 xの変域に要注意! I ① の範囲における y=x2+2ax+1の最大値 を求める。 <軸が区間①の中央よ り左側。 軸が区間①の中央と 一致。 軸が、 区間①の中央よ 右側。 答えでは, [2] と [3] を まとめた。

数1の問題です！ 赤丸の-2分の1はどのように出していますか？

1/2<a≦0のとき 最大値 4a2+5 (x=2a), 最小値 1-8a (x=-2) 0<a のとき, 最大値5 (x=0), 最小値 1-8a(x-2) y=-(x-2a)2+4a²+5 と変形できる。 グラフは,軸 x=2a, 頂点 (2a, 4a²+5) で,上に 凸の放物線である。 アa≦-1 のとき, 軸は定義域の左側にある。 最大値 1-8a(x=-2) 最小値5 (x=0) ①-1 <a≦- 軸は定義域内にある。 最大値 4a²+5 (x=2a) 最小値5 (x=0) ⑦/12/ <a=0のとき. 軸は定義域内にある。 最大値 4a²+5(x=2g) 最小値 1-8α (x=-2) ②0 <a のとき-(2. 軸は定義域の右側にある。 最大値5 (x=0) 最小値 1-84 (x=-2) 解き方 1 のとき, USH -22a 1-2 2a-20x -2 1 y 55 YA 5 2a 0 02a $5 48 <1のとき、x=-1で最小 1+2p+2p²-p-6--2 2p²- (2p+3)(p-1)=0 D-1より、b=-3 このとき、y=x2+3x となる して、y=32+3×3=18 よって, 最大値は 18 5 (1)-2≦t≦2 (2) 最大値 13 (t=-2, x= 最小値 4 (t=1, x=- 解き方 (1)-2≦x≦1より、 t=x2-2 だから, -2≦x よって, -2≦t≦2 (2) y=(x²-2)²-2(x²-2)- =t²-2t+5 (-2≤t≤2) の最大・最小を調べる。 y=(t-1)2+4 右のグラフより、 最大値 13 (t=-2x 最小値 4 (t=1, x=- 6 (1) 直角をはさむ2辺 角二等辺三角形の (2) 直角をはさむ2辺 角二等辺三角形の (1) 直角をは とするとき 解き方

三角関数の合成の応用の問題です 解答にあるsinα=12/13,cosα=5/13となる理由が分かりません。 教えてください

して合成 -2 sil 20+ √3 sin 20+ co される。 1文字を消去、実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。そこで、 条件式 ty-lは、原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。 一点(x,y)は単位円上にあるから、Cos, y=sin とおける(検討参照)。 これを3x+2xy+y* に代入すると、 sin, cos 0 の2次の同次式となる。よって、後は 前ページの基本例 158と同様に、20にして合成の方針で進める。 1 y=1であるから、 ことができる。 pa3x²+2xy+y2 とすると ゆえに P=3cos20+2cososin0+ sin²0 1+cos 20 2 =3. 002のとき, 1-cos 20 2 =sin20+cos 20+2=√2 sin(20+ 7 ) +2 20+4x+△であるから x=cos 0, yasino (0502m) とおく π +sin 20+ 3x+2xy+yの最大値 最小値 -15sin (20+4)=1 -√2 +25√2 sin(20+)+25√2 +2 よって, Pの最大値は2+√2, 最小値は 2-√2である。 Pが最大となるのは, sin (20+- F6317³9Th π すなわち = 158 y=rsin0 これを円の媒介変数表示という(数学Ⅲの内容 ) 。 条件式が+パードの形 のときの最大最小問題で は、左のようにおくと、比 較的らくに解答できること もあるので、試してみると 三角関数の合成。 検討円の媒介変数表示 一般に,原点を中心とする半径rの円x2+y²=r2 上の点を P(x,y) と し、動径 OP の表す角を0とすると JOT005 x=rcos0, STIENIORS 8 πである。 これから, 半角の公式と0+の公式を用いて, 最大値を 与えるx,yの値が求められる(下の練習 159 参照)。 249 a 5 12/2 nia Orsine r [Alono 2013 ain Ja (0+0)nier=0 2000+07 C p π J 27 三角関数の合成 P(x,y) 0 rx rcoso 60 0=1 +0nie E \ +0 800 平面上の点P(x,y) が単位円周上を動くとき, 15x² +10xy-9y² の最大値と,最 159 大値を与える点Pの座標を求めよ。 Bashroomy [学習院大 ] p.254 EX103