数列に関する問題です。 (3)についてですが、3項間漸化式を二次方程式に見立てている理由がよくわからないです。 数列なので「an+2」が「なにかの二乗」というわけでもないのにどうして解の公式を用いることができるのですか？ どなたかわかりやすい言葉で教えてください🙇🏻‍♂️

数列{an}が,a1=-1, 22ak=3an+1-2an-1 (n=1, 2, 3, …) を満たすとき, (1) az を求めよ. (2) 3an+2-7an+1+2an=0を示せ. を求めよ. (3) an ●10 和と一般項の関係, 3項間漸化式 Sn を含む漸化式は, 「an=Sn-Sn-1(n≧2)」.....☆ を用いて, So を消去し, an an=Sn-Sn-1 だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0 になってしまう!). n=1のときは, α = S1 を用いる. an+2+pan+1+gan=0 an+2+pan+1+gan=0 の一般項を求めるには、x+px+q=0の解α, B を 用いる。 解と係数の関係より、カニー(a+β),a=aß. よって, an+2-(a+B)an+i+aBa„=0.これを an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=a(an+1- Ban) と変形する. a=βのときは, an+2-αan+1=α(an+1-αan)より, an+1-can=q"-1(a2-aa)として, an+1=aan+san-1(s=a2-aa1). これを α"+1で割り, bn=an/a" とおくと{bn}は等差数列になる. 解 答 12 Sh= Zak とおくと, Sn=3an+1-2an-1 (1) ① でn=1 とすると,2S1=3a2-2a-1 S=q=-1だから, -2=3a2+2-1 .. az=-1 (2) ① のnを n +1 にすると,2Sn+1=3an+2-2an+1−1 ②-①より, 2an+1=3an+2-3an+1-2an+1+2an ④より, an+1 ∴.3an+2-7an+1+2an=0 7 (3) (2)より, ax+2/1/30m+1+1/30m=0 [右の傍注に注意し] ③を変形して an+2-2an+1 ·(an+1-2an) ⑤ より, an+1 よって, an+2¯ = n k=1 1 3 3 \n-1 1-20, =(1/2)^'(a2-241)=(1/2)"^'(-1+2)=(1/2)*^^ 3 2n-1(02-1/241)=2"-1(-1+1/3)=(-/23) 3 an=2n-1 a2 3 3 2 +-³ × (2-6) - {( - ) an= (⑦⑥) 5 3 ・④, an+2' ・2n-1_ (山形大工/一部省略) 1 5 :- =— an+1=2(an+₁ — — ₂) -an 3 '-(1/2)^2}=1/{2n+(1/8)^2} |2"+ J・2n-1 10 演習題 (解答は p.76 ) ←Sn+1-Sn=an+1 7 2 ③ェー -x+ -=0の解は 3 3 (2) (13) 0により. x=2, 1 3 3 ← ④ より {an+1-2an}は公比 等比数列.

2枚目の写真aｎ＋２〜の方は知っているのですが、1枚目の写真an＋1〜の方も同じようにできないのはどうしてですか？解説を見る限りかなり解法が違うのでこの２つの違いを詳しく教えてください。お願いします。

586 00000 重要 例題 133 確率と漸化式 (2) ・・・ 隣接3項間 座標平面上で,点Pを次の規則に従って移動させる。 問 1個のさいころを投げ, 出た目をaとするとき, a≦2 ならばx軸の正の方向へ 原点を出発点としてさいころを繰り返し投げ, 点Pを順次移動させるとき, 自然 αだけ移動させ, a≧3 ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる。 数nに対し,点Pが点 (n, 0) に至る確率をpm で表し, p=1 とする。 (1) +1 を P, Dn-1 で表せ。 (2) n を求めよ。 指針▷ (1) Pn+1:点Pが点(n+1, 0) に至る確率。 点Pが点 (n+1, 0) に到達する直前の状態 を次の排反事象 [1], [2] に分けて考える。 [1] 点 (n, 0) にいて1の目が出る。 [2] 点(n-1, 0) にいて2の目が出る。 (2) (1) で導いた漸化式から を求める。 Pn+1 = = = = P₂ + 1 - p よって (2) 5 Pn+1+. Pn+17 + / - P₁ = = = 2 (pn + 1/3-Pn-1), -pn-1 - 12 D₁ = - = -(Da = - = - Du-1) Pn= -Pn-1 3 (②③)÷/から Pn+1+1pn=pit po=1, p=1/2から x + ₁ - 1 1/2 P₁ = ( D ₁ - 1 1/2 Po ) · ( - 13 ) " 解答 (1) 点Pが点(n+1, 0) に到達するには回 [1] 点 (n, 0) にいて1の目が出る。 [2点(-1, 0) にいて2の目が出る の2通りの場合があり, [1], [2] の事象は互いに排反である。 点 (n, 0), (n-10) に る確率はそれぞれ よって Pn, pn-1 63, \n+1 2 + + — + P ₁ = ( 1² ) ² + ² Pn+1+ n-1 pn-1 - Pn=(P₁+ } } Þo)·( ² )", +1) „J+JS ARE (2) (+) 3118 2, [2] 6 n+1 -- / / (( - )**'-(- - -) **) = pm n 11 6 〔類 福井医大] 基本 123,132 n+1 x=x+言から 6x²-x-1=0 n+1 Pn+1 - - 2 P = (- - -) 0 3EROBE +1¯ y軸方向には移動しない。 pe+1 245 ape+1 よってx=-13.0/1/2 よってx=- 3' (a, B)=(−}}, }), (1/12-1/23)とする。

！！！至急お願いします！！！ マーカーのところで、この式はどこから求めた式ですか？

576 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an},{bn} を α = 1, b1 = -1, an+1=5an-4bn, bn+1=an+bnで定めると (1)an+1+xbn+1=y(an+xbn) を満たすx, yの値を求めよ。 (2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。 MERA 指針 p.575 基本例題125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」 の方針によって解けばよ an+xbn=(a₁+xb₁) (2) (1) から,数列{an+xbn}は公比yの等比数列となり これに αn=bn+1-6 を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x)bn+(a+xbi)yn-1 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) $27 an+1= pan+g 型の漸化式 (p.564 基本例題118) に帰着。 よって, ① の両辺をy7+1で割ればよい。 =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn) とすると (5+x)an+(-4+x)bn=yan+xybn REOC I) (S これがすべてのnについて成り立つための条件は ...... 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに したがって 求める x, yの値は (2) (1)から an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって, 数列{an-26m}は,初項α1-261=3,公比3の等比 数列であるから x=-2 x=-2, y=3 bn+1 bn 1 + 3n+1 3" 3 + + an-26m=3.3"-1 3 すなわち an=26+3" これに an=bn+1- 6 を代入すると bn+1=36n+3 3¹ bn あるから 第1-131+(n-1)-13-032 = よって a=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2) 両辺を 37+1 で割ると 数列{10} は,初項 1/14-11/11/13 公差 1/13の等差数列で = ま め [参考] [解法2][1つの に関する漸化式に帰着させ る]の方針による解答 an+1=5an-4bn. bn+1=an+bn ② から a=bx+1-bm an+1=bn+2-b₁ これらを①に代入して bn+2-6bn+1+9bn=0 特性方程式x^2-6x+9=0 解くとx=3(重解) よって, p.573 基本例題124 と同じ方針で、 まず一般 を求める。 1 lan+1=pantg”型は両辺 g" +1 で割る(p.564 参照)。 an=26+3に代入。

青線の部分がよく分かりません。

基本例題 119 an+1= = an+1 = 指針 漸化式 An+1= |2| an 4an-1 an panta an pan+g ① 漸化式の両辺の逆数をとると 型の漸化式 によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 [類 早稲田大〕 基本 116 のように,右辺の分子が α の項だけの場合の解法の手順は 1 2₁=p+9 1 = b, とおくと bn+1=p+gbn an an+1 ......... an bn+1=0b+▲の形に帰着。 ! p.560 基本例題 116と同様にして一般項 bn が求められる。 また,逆数を考えるために α =0(n≧1) であることを示しておく。 TMAHO

確率の問題です。 青い点線のところで、何故²/₃と¹/₃になるのか教えてください🙇‍♀️

練習 239 1個のさいころをn回投げる。 この回の試行のなかで, 5以上の目が偶数回出る確率を Dm とするとき, n をnの式で表せ。 (n+1) 回の試行のなかで, 5以上の目が偶数回出るのは, 次の(ア) また は (イ) の事象である。 (ア) n回目までの試行で5以上の目が偶数回出ており、(n+1)回目の 2 試行で5以上の目が出ない。 その確率は pmx 3 (イ) 2回目までの試行で5以上の目が奇数回出ており, (n+1) 回目の 試行で5以上の目が出る。 その確率は (1-pm)× 1x1//3 (ア), (イ) は互いに排反であるから p=11/12(12/1/10/1/ Pn+1 2323²Px + 3/3 (1 - Du) = 3/5 pm + 1/3 変形すると Pe.. - (P-1) Pn+1 1/1/12 - 11/13 (²) - 11/12) 回の試行のなかで5以 上の目が偶数回出る確率 13 Pn 回の試行のなかで 5以 上の目が奇数回出る確率 は 1-m 特性方程式 α= 3 at 1 3

至急お願いします。 なぜ絶対値をつけているのでしょうか。 また、波線の部分がどのように導かれたか分かりません。 97について、Bp =xnと置いた理由や、1/2とは何を指すのか教えていただきたいです

ときの極 基本事項 D 基本例題 {r"} の極限(rの値で場合分け) rn-1 2218 mn+1 よって キー1 のとき, 極限 lim- CHART rk1のとき よって lim →∞ r=1のとき \r|>1 のとき ♪” を含む数列の極限 .72 {r"} が収束する, すなわち, r|<1 やr=1のときは, 与式のまま極限を考える ” の極限は,rの値により異なるから 場合分けして考える。 ことができる。 |r|>1 {r^*} >1 のとき, (7) は収束しないが, 1/21 から (12) が収束することを利用 <1 する。基本例題 89 と同様に、分母・分子を”で割ってから極限を考える。 lim n→∞ limr"=0 1218 OLUTION xn-1_0-1 inn+1 nn-1 rn+1 0+1 r"=1. よって ||<1 =lim n→∞ ゆえに n 1- (-1) " 1+ n を求めよ。 r=±1 が場合の分かれ目･････ = -1 lim nnn+1 1+1 lim n→∞ (1) 1-0 1+0 n =1 -- p.141 基本事項 基本 89 =0 =0 inf. r=-1 のとき, nが 奇数ならば r"=-1 であ るから, (分母)=0 となり rn-1 rn+1 が定義されない。 147 ◆分母・分子をr” で割る。 INFORMATION” の極限 この例題からわかるように, " を含む式の極限は,r=±1 を場合の分かれ目として 場合分けして考えるのがポイントである。 また, r|>1 のとき, { r"} は収束しないが, // 1)") 4章 10 数列の極限

写真の青文字の部分教えていたいただきたいです

n個のサイコロを投げたとき 出た目の和が7の倍数になる確率を求めよ (nは正の整数) n個投げたときの和が7の倍数である確率をP(n)とする n-1個投げたときの目の和が7で割りきれるときは2個目は何がでても7の倍数にはなれない。 n-1個投げたときの目の和を7で割った余りがKのとき1個目は7-Kの目が出ればいい。 よってP(n)は P(n)=1/{1-P(n-1)} -/1/6P(n-1)+1/6 また、P(1)=0 よりこの漸化式を解くと Pon) = 1/7{1-(-1/28) -1}となる。

最後の黒線で引いたところの計算が分かりません。

00000 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an}, {bn}をa=1, b,=-1, an+1=54-4b, bn+1=an+bnで定めるとき (1) an+1+xbx+1=y(an+xb²)を満たすx,yの値を求めよ。 (2) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。 指針 p.575 基本例題 125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けばよい。 an+xb.=(a+xbi)y (2) (1) から 数列 (an+xb.) は公比yの等比数列となり これに α = bats-b を代入し, an を消去すると bn+1=(1-x) b.+ (②2+xbi)y"-1 ① += pa.+α型の化式 (p.564 基本例題118) に帰着。・････... よって, ① の両辺をy"+ で割ればよい。 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1 = y (an+xbm) とすると (5+x)an+(-4+x)bm=yan+xybn これがすべてのnについて成り立つための条件は 5+x=y, -4+x=xy 5+x=yを4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに x=-2 したがって 求めるx, yの値は (2) (1) から これに α = bn+1- 6m を代入すると bn+1=36+3 an-2bm=3.3"-1 = 3" すなわちa=26+3 & HA ***** an+1=b+2-bati これらを①に代入して bn+2-6b+1+9bn=0 特性方程式 解くとx=3 (重解) an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって, p.573 基本例題124 よって, 数列{an-26 ) は,初項α-26, 3, 公比3の等比 と同じ方針で、 まず一般項b 数列であるから月 を求める。 x=-2, y=3 3¹ bn 3" bn+1 bn 1 3+1 3" 3 両辺を 3 +1 で割ると b₁ 数列{2}は,初項 12/1=11/11/13 公差 1/1/3の等差数列で =. + あるから --1/3+(n-1)-1-12 . よって 基本118,125 an=3"-¹(2n-1), b=3"-¹(n-2) [[解法2] [1つの数列 に関する漸化式に帰着させ る] の方針による解答 an+1=5an-4bx bsity=ax+bn ② から an=b+1-bs. ****** ② 6x+9= 0 を 44,00 Jr! <an+1=pan+g型は両辺を g" +1 で割る(p.564 参照)。 a=26+3" に代入 (基 1

数列の一般項が求めれません！ a₁＝2, a（n+1）＝2a（n）-3 の数列です。カッコの中は、右下の文字です。 画像も載せておきます。 一般項と、その解き方を簡略にでもいいので、どなたか教えてください🙇‍♂️

A₁ = 2 Ax+1=2an -3

数列の単元です。 この問題がわかりません　 なる早でわかるかたよろしくお願いします

次の条件によって定められる数列{an}の一般項を (1) α₁=2, an+1 = an +2n ₂+1 1 An =n n+ 2 (2) α₁ =4, an+1 = 3an - 2 - 3 An = n + 4