基本 33 x+y+z=nの整数解の個数
0000
(1)x+y+z=9,x20,20,20を満たす整数x,y,zの組 (x, y, z) は,
全部で何組あるか。
(2)x+y+z=12を満たす正の整数x,y,zの組(x, y, z)は,全部で何組ある
か。
指針
[類 芝浦工大, 神奈川大] ・基本 32 重要 34
(1)1つの整数解 (x,y,z)の組は, 9個のと2個の仕切りの順列に対応する。
例えば
〇〇〇〇〇〇〇○○は
(x,y,z)=(2,3,4)
(x,y,z)=(6,03)
に対応する, と考えればよい。 つまり, (x,y,z)の組の総数は, 異なる3種類のも
のから、重複を許して9個取る組合せの総数となる。
(2)正の整数解であるから,x, y, zは 0 であってはいけない。 そこで
x-1=X, y-1=Y, z-1=Z
とおき, 0 であってもよい X≧0, Y≧0 Z≧0 の整数解の場合に帰着させる。
また、別のように, 12個の○と2つの仕切りで考えることもできる。
解答
(1) 9個ので x, y, zを表し、2つので仕切りを表す。
求める整数解の組の個数は, 9個のと2個の の順列の
総数に等しいから 11255(組)
別解 異なる3個のものから、 重複を許して9個取る組合せ
と考えられるから
3Hg=3+9-1Cp=11C2=11C2=55 (組)
仕切りで分けられた3
つの部分にある〇の
個数を, 左からx, y,
zの値と考える。
