このもんだいの解き方を教えてください。

c 漸化式で表された数列の極限 応用 次の条件によって定められる数列 {an} の極限を求めよ。 例題 3 1 a= 1, an+1= 2 5an+1 (n=1, 2, 3, ……) 考え方> 極限値が存在するとしてその値をαとすると, α= +1 が b anel もanもほば何じ値に収する. 成り立つ。このαを利用して, 数列 {an-a}について調べる。 5 解答 与えられた漸化式を変形すると an+1-2= 2 (an-2) 1 よって,数列 {an-2}は公比の等比数列である。 2 の葉さ その初項は,a-2=1-2=-1 であるから SD+D=D n-1 an-2=(-1)-( 1n-1 lim 2 =0 であるから 10 lim (an-2)= 0 n→0 n→0 したがって lim an =2 n n→ 0

<至急> 両辺を4^n+2で割り、 1/4bn+1=3/4bn +1 までは分かりますが、その後から解き方が分かりません 教えてください！！

a=4, an+1=12an+4"+2

この問題の一般項はan=1×3^n-1+2 だと思ったのですが答えが違いました。 この一般項の求め方を教えて欲しいです！

(2) a,=1, a+1= 3a, +2(n=1, 2,3, )

1番の答えは2・3n乗-2となるんですが解けません。お願いします。

問16) 次の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。 (1) a = 4, ax+1 3a, +4 (k = 1, 2, 3, ニ (2) 6, = 2, bk+1 = b, + (2k -1)(k=1, 2, 3, ) ba + (2k -1) (k= 1, 2, 3,

(2)です。解説を見たところ自分のと解き方が違っていて、この特性方程式を利用して解く方法でやりたいのですが、そうなるとどのような計算過程になるのか教えていただきたいです🙇‍♂️ちなみに初項は2、公比は2になります。

【選択問題) 数学B受験者は, 次の B5|~B8|のうちから2題を選んで解答せよ。 B5 等差数列 {an} があり, as=31, a7=63 を満たしている。また, 数列{b} があり, b.=1, bn+1 = 26,+1 (n=D1, 2, 3, …)を満たしている。 (1) 数列 {a}の初項と公差を求めよ。 (2) 数列{b}の一般項 bをnを用いて表せ。 (3) 数列 {a}の項のうち, 数列{b.} の項を除いて,小さいものから順に並べた数列を {cn} とする。このとき,2cを求めよ。 Ck k=1 (配点 40) a 。 bnti 2bn t l a :2d+ 1 -. 0 - @り bnti - a : 2(bn-α) *@Fり の の これを①に代人ん bnti +| = 2(bnt1) の -a = 1 n=1Eして。 bnti = 3. a= -1 教列Ebn 1)は初項3.公化2

(2)のaがわからないのでわかる方いたら解説していただけると幸いです

20ERとし, 2次正方行列 (50 点) cos 0 - sin A= sin 0 Cos é の対角化について考える. なお, iは虚数単位とする。 (1) 0チnm (VneZ) のとき, AのR上の固有値は存在しないことを示せ (2) 以下,0+nπ (Vn e Z) とする。 (a) AのC上の固有値を u土iw (u,ve R) と表したとき, u,v をそれぞれ0を用いて表せ. (b) Aの各固有値に対する C上の固有ベクトルを求めよ (c) AのC上の各固有値に対する固有空間の C基底を求め, C次元を求めよ (d) AがC上対角化可能かどうかを判定せよ. C上対角化可能であるならば, AをC上対角化せよ。 その際に, C上対角化を与える2次正則行列 P を明記し, 対角化の過程も記すこと.

(4)です。赤字が正解です。どこで間違えているのか教えていただきたいです🙇‍♂️

ただし,公比は実数とする。 (3) 初項から第n項までの和 S, が、S,=-2?+3n で与えられる数列 {am} の一般項 an=| 3 である。 4) ai=6, an+1=3an-8 (n=1,2,3,. …)で定められた数列 {a} の一般項は, anミ である。 人さみお大お 小アィ O の中に適する数または式を入れよ。

丸したところから丸したところへの途中式を解説お願いします🙇🏻‍♀️

重要 例題128 分数形の漸化式 (2) 要例題128 分数形の漸化式 (2) DOC 4an+8 数列 {an} が a1==4, an+1= で定められている。 ant6 an+4 1) bn= an-2 とおくとき, bn+1 を bnで表せ。 (2) 数列 {an} の一般項を求めよ。 4分数形の漸化式である。おき換えにより, 等比数列の問題に帰着する。 an+1+4 an+1-2 に与えられた漸化式を代入する。 (2)まず,数列{bn} の一般項を求める。 解答 4an+8 an+1+4 an+1-2 +4 ant6 4an+8 -2 ant6 4an+8+4(ant6) 4a,+8-2(an+6) 1) bn+1= (繁分数式)の扱い 分母,分子に an+6 を排 て整理する。 (税SI =4bn 8S ) 8an+32 4(an+4) 2an-4 an-2 30 0キ4 したがって bn+1=46, ai+4 (2) b=- ai-2 4+4 =4 4-2 ゆえに,(1)より,数列{bn} は初項 4, 公比4の等比数列であ るから bn=4·4"-1=4" Abn=b*r" an+4 =4" an-2 よって ゆえに an+4=4"(an-2) 2(4"+2) 4"-1 したがって a,ミ 使討分数形の漸化式の特性方程式 漸化式 an+1 ran+s pantq 特性方程式という。 上の例題の特性方程式は において, an+1, anの代わりにxとおいた方程式を,分数形の漸イ 80 すなわち x+2x-8=0 4x+8

(2)の最初の式はどのように考えて、この式になったのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

指針> p.575 基本例題 125(1) と同様に, [解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けは Un+1=antbnで定めると JUn 数列 {an}, {bn}をa=1, bi: ま め (2) 数列 {an}, {bn} の一般項を求めよ。 (2)(1)から,数列 {an+xb»} は公比yの等比数列となり これに an=bn+1-bnを代入し, an を消去すると bn+1=(1-x)bn+(a+xb,)y"-1 antxb,=(a+xb)ly よって,①の両辺をy"+1 で割ればよい。 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(antbn) =(5+x)an+(-4+x)bn 参考 (解法2) [1つの に関する新化式に帰着き る]の方針による解答 3が月後 an+1=5an-4b。 (5+x)an+(-4+x)bn=yantxybn 文 bnュ=antb。 2から a=ba+ーb。 よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn)とすると これがすべてのnについて成り立っための条件は 5+x=y, -4+x=xy an+i=ba+z-bm これらを0に代入して bn+2-66m+1+96,=0 特性方程式x-6x+9=1t 解くと x=3(重解) よって、p.573 基本例題124 5+x=yを-4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに x=-2 したがって,求めるx, yの値は (2) (1)から よって,数列{anー2bn} は, 初項 a-26」=3, 公比3の等比と同じ方針で、まず一般類い 数列であるから x=-2, y=3 an+1-26n+1=3(an-26m) を求める。 an-2bn=3·3"-1=3" すなわち an=2bn+3" これに an=bn+1-bnを代入すると bn+1=36n+3" l an+1=pantq"型は両辺を n+1 g"*1 で割る(p.564参 bn+1 37+1 両辺を3*+1 で割ると bn 1 D 37 3 数列は、初用 公子の等器数列で 列は,初項- 数 1 公差の等差数列で 3! 3 3' あるから--+- bn 1 1 n-2 37 3 3 3 よって a,=3"-(2n-1), 6,=3"-'(n-2) an=26,+3" に代入。

1つ目の方は公式に当てはめているのに、2つ目の方はなぜ公式に当てはめていないのですか？解説お願いします🙇🏻‍♀️

an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,). 指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、 上め ニx+6を解くと、 572 an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。 (1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに 基本 例題123 隣接3項間の漸化式( 次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ OO00 基本 次の寺 (1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an (2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0 p.571 基本事項 2解を、Bとすると, αキBのとき 針> が成り立つ。この変形を利用して解決する。 し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。 (2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は 解答 (1) 漸化式を変形すると につ an+2+2an+1=3(an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比 の, ゆ (x+2)(x-3)=0から の x=-2, 3 α=-2, B=3として掛 のAを利用。 数列であるから an+1+2an=37-1 2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等 3 比数列であるから an+1-3an=(-2)"! の がS 3-4から 5a,=3"-1-(-2)"-1 1 an= 5 |an+1 を消去。 る したがって ute TSanti= antレ-San an+2-an+1=-5(an+1-an) ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5 (2) 漸化式を変形すると x+4x-5=0を解くと、 (x-1)(x+5)=0から の等比数列であるから よって, n22のとき an+1-Qn=(-5)”-1 x=1, -5 n-1 an=Qi+2(-5)*-!=1+ k=1 別解 漸化式を変形して an+2+5an+1=Qn+ +50« よって an+i+5am 三 n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式 =an+5an-1 =……=a+5a=l はn=1のときも成り立つ。 an+1+5an=7を変形し、 したがって a,=17-(-5)"-"} an+1- から a