例題 114 反転… OP·0Q=(-定)の軌跡
原点0を通る直線上の2点P(x, y), Q(X, Y) がOP·OQ=8 を満たし、Pと
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Qは原点0に関して同じ側にある。
K(1) x, yをX, Yで表せ。
|X(2) 点Pが円(x-2)?+(y-1)?=5 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。
にコ
*から
x
指針(1) P, Qがy軸上にないときは,(OP の傾き)=(OQ の傾き)すなわち_Y
x__y.
マーテーk とおけて、, x=kX, y=kY と表される。
これは P, Qがy軸上にあるときも成り立ち, 更に
2点P, Qが原点0に関して同じ側にあるから
(2) 求めるのは,点P(x, y)に連動して動く点Q(X, Y) の軌跡である。したがって、
yを消去し、X, Y だけの関係式を導く。
k>0
答案(1) 点Qは半直線 OP 上の点であるから
x=kX, y=kY
バージ
した場合
-4
0,
k>0
さ 0-1-
るかエーー な
SD04-( ) (木)
と表される。
OP·0Q=8 であるから
(x°+y°)(X?+ Y)=8
k°(X°+Y°)?=8°
2から X°+Y2キ0 であり,k>0 であるから
2 人 の<OP*-0Q"%=8 と同催
人外の\や
HCO
のを代入して
Pが
OP·0Q-
OP:0
8
k=
X+Y?
X°+ Y?>0
Ps
QX, Y).
ゆえに
これをOに代入して
よって、
8X
8Y
X+ Y?, y=
(2)(1)の結果を(x-2)?+(y-1)?=5 に代入すると
x=ー
X+Y?
0から
とする。
8X
(x+Y-2)
2
8Y
X+Y2
{8X-2(X°+Y)})?+{8Y-(X°+Y2)}?=5(X°+Y°)*
2
-1) =5
よって
整理して(X°+Y?)(2X+Y-4)=0
X?+Y?+0 であるから
逆も成り立つから, 点Qの軌跡は
よって
ただし
2X+Y-4=0
直線 2x+y-4=0
Fad r 2
g IeB 区 Ies
こ る
0
Td0