波線部分の式変形の仕方が分からないので教えてください

4. 解けない漸化式と極限(1) a 2.2,+ 2 Cn ニ 2」=a(a>1), In+1 (類,鹿児島 3 n→0 ーVas(エ,-Va)であることを示し, limz,を求めよ。 Cn+1 ☆のkが定数でないと 1より小さいn個の正数の有 2n-1 2n-2 【Point) 簡単には解くことのできない2項間の漸化式aの+13f (an)の極限値を 求めるのに,前問のように視覚に頼らないとすれば, 2つの方法があってここで 第1の方法を紹介しよう. (次の5.が第2の方法) まず, 3. の方法などにより極限値αを予想し, 与えられた漸化式から 2n 2n+1 2n 2n-1 n+1 は 2n+1 で,n→ oのとき は収束しない(1/2に収束) 考えると,☆のえは “定 いと,an→ a(n→ ) できない。 ■入試では 本間のように,とりあえ 等式を証明させる問題 『If'(z)|の最大値をM α=f(a)によって定める 値の定理により, If(a,)-f(a)|<MIc . lan+1-a|<M\a という流れの問題も少た ちろん, M<1を示すこ lan+1-a|Sklaォーal, kは0<kく1である定数 の形の不等式を導く. すると, 0Sla,-a|S"-la,-al →a (n→co) であるから,はさみうちの原理により, Iam-al→0 【解答) また, あきらかに Iル>0であるから, 相加· 相乗平均の不等式により, an a>1 により, z;=azVa a a Ce+1 .2."c /8z ={a 三 3 2 2 よって, つねにx,NVa である. 次に, 2 2月+1一as(エ,-) 2 a 2 32,2 n 3 3 1 -ハ小のん a 3 a 3エ トになる。 2 であるから,確かに~が成り立つ,この ~を繰り返し使うことにより, n-1 0S2,-as)(z)-Va) 3 よって,はさみうちの原理により, lim (x,-Va)=0 .. limz,={a n→0 n→0

閲覧ありがとうございますm(*_ _)m 数学、極限の問題ではさみうちの原理を利用する際、 ふと気になったことがあるので質問させていただきます。 例えば下の問題で nが負の時、不等号の向きが逆になりますよね。 ですが、その時を考えていないのはなぜですか? もし1/nsi... 続きを読む

応用 例題 1 極限 lim nπ sin 6 を求めよ。 n→o n 1 〈解説)上の7を利用する。 11 1 nπ 1 nπ <1であるから 6 ic 解 -1<sin sin n n 1 1 =0. lim n 1 =0 であるから ここで,lim n→0 n→0 n はみうち。 より. 1 lim nπ sin 0 n→o ? 6

問題文でt≧0となっているのに、解答ではt>0の場合のみ書いてあってt=0のときについて言及していません。 なぜ言及しなくていいのでしょうか？それとも誤植ですかね？

あじ(0+)二 公 時 () (*)友) log (x + 1) 関数f(x) = について,次の各問いに答えよ。ただし, xz0と 4 x+1 する。また, log (x + 1) はx+1の自然対数を表す。 b)民 bof 示 開 (*)友 (AR焼さけさ t? (1)自然対数の底eに対して, tz0のときe> 2 が成立することを用いて 来 log (x + 1) lim = 0 x+1 x→ 0 を示せ。

極限の問題です。 模範解答ではどちらもはさみうちの原理を使っていました。 ⑴は答えは合っていたのですが、変形の仕方でまずいところとかありませんか？ ⑵は答えが合わないのですが、置き換えでは解けないのでしょうか？

B 1 429 *(1) limx°sin 1-sinx (2) lim x→0 x x→0 x

回答の波線の>0をつけれる理由を教えて頂きたいです

(3) 漸化式を変形して, 一般項 anをnの式で表すのは難しい。そこで, (2)で示した不等 1p.174 基本事項3,基本 105 OOO00 192 里要 例題113 漸化式と極限 (5) … はさみうちの原理 (2) 3-an+1<る(3-an)を証明せよ。 3 (1) 0<an<3を証明せよ。 (3) 数列 {an} の極限値を求めよ。 (類神戸大 指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利用。 (2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0 であることを利用。 式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列(3-an} の極限を求める。 はさみうちの原理 すべての nについて pnミ anSgn のとき lim pn=limgn=αならば liman=α n→0 n→0 n→0 なお,次ページの補足事項も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) 0<an<3 のとする。 [1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<as<3 n=k+1のときを考えると, 0<ax<3であるから (数学的帰納法による。 10<a<3 an+1=1+V1+ak >2>0. aた+1=1+V1+a <1+V1+3 =3 40<a。 から 1+a>1 ~w Aa<3から 1+a <2 したがって 0<ab+1<3 よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-/1+an = 3-an 2+V1+an (3-an>0であり, a,>0か ら 2+/1+a,>3 (3) (1), (2) から 0<3-a.s(-)(3-a) 1 n-1 1n-1 n22のとき,(2) から ()(3-a)=0であるから ロ lim 3-a<ロ-0) <(a-a <ロ) n→0 lim(3-an)=0 n→0 したがって liman=3 n→0 -1

分かりません！ご協力待ってます😰

5次の極限値を求めよ。 1 nπ lim COS 2 n→0 n 3

この絶対値を【0.π/2】の1の積分で上から押さえられているのはなぜですか？？

2 COS 2nx dx 1+x 解答 - -d-os 2nz 1 2J6 1+x da- 2J。 n ] Tπ sin 2n.z 2ll2n(1+x) 」。 2 2 Sin2na 2n(1+ap og(1+)-sn2nz x -dx. 4n Jo(1+x)? 悩ってきれい ここで、 < く(a-品 sin2nz 4n Jo (1+x)? -da<。 dr=_T 8n° 2 4n はさみうちの原理により, この不等式の中央の値は n→8 (1) sin' nエ da=} log (1+ 2 lim/ de= 1+エ 2 n→0

微分です。 (2)の、赤い線の所の1/2x^2は、どこから来たのですか？ また、その式から次の式へは、どのようにして行くのですか？

(1) 微分法の不等式への応用は数学II·B96, 数学II·B97 で学習 礎問 る接線を 求めると,リ=e+1 になります. こ 考 81 微分法の不等式への応用 9=e* のとき,右図より y=e" が y=z+1 リ=2+1 より上側にあります。だから, ェ>0 では >ェ+1, すなわち,f(z)>0 であることが (1) エ>0 のとき, e">++1 が成りたつことを示せ Ao e*>ず+ェ+1> わかります。 -1 0 (2) lim=0 を示せ。 エ→ (3) lim zlog.r=0 を示せ。 エ→+0 (2) z>0 のとき, (1)より 0<く 2 et 2 lim =0 だから,はさみうちの原理より limニ=0 注解答では, x+1を切り捨てていますが, そのままだと次のように 精講 済みです。考え方自体は何ら変わりはありません。 エ→ 0 (2)は 78に,(3)は演習問題 79 にでています。 なります。 大学入試で,これらが必要になるときは, I.直接与えてある(78 I. 間接的に与えてある(演習問題79) I. 証明ができるように, 使う場面以前に材料が与えてある(81) のいずれかの形態になっているのがフッウですが,たまに,そうでない出題も あります。 TA 2.c 0< et 0<こく 2 +2c+2 2 エ+2+- I (3)(2)において, エ=log とおくと, t→ +0 のとき,エ→8 また, e"=elo= だから,この結果は知っておくにこしたことはありません.もちろん, 証明 の手順もそうです。(1)や(2)で不等式の証明, (3)で極限という流れは4, 個で 学んだはさみうちの原理です。 2=-logt だから, 11 (0 lim (-tlogt)=lim -=0 t→+0 et エ→ 0 また, lim(-tlogt)=-lim(tlogt) t→+0 t→+0 解答 lim tlogt=0 すなわち, lim zlogz=0 エ→+0 (1) f(z)=e"-(+ェ+1) とおく。 t→+0 f(z)=e*-(z+1), f"(z)=e*-1 ェ>0 のとき, e">1 が成りたち, f"(z)>0 したがって,f(z)は z>0 において単調増加. ここで,f(0)=0 だから, x>0 のとき,f'(z)>0 よって,f(z) は >0 において単調増加。 ここで,f(0)=0 だから, ェ>0 のとき, f(z)>0 ポイント log x_0→lim zlogz=0 lim =0 =lim エ→+0 エ→0 む→0 et 演習問題 81 (1) ェ>0 のとき,正>log.z を示せ。 logエ -0 を示せ. ゆえに,ェ>0 のとき, e">→ポ+ェ+1 1 (2) lim 2 エ→ 0

数学III質問 極限です。 解答の上から3段目の鉛筆で囲ってる部分です。この式はどこから出てきたのでしょうか？

基本 例題106 数列の極限 (5) はさみう nはn23の整数とする。 1 基本 105 (2) lim カ→ 27 の値を求めよ。 指針> (1) 2"==(1+1)"とみて, 二項定理 を用いる。 (a+b)"=a"+,Cia"-'6+,C.a"-*が+…………+.Cn-1Cb"-1+6" (2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題105同様, はさみうちの原理 を用 る。(1)で示した不等式も利用。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) n23のとき 2"=(1+1)"=1+»Ci+»C2+…++Cn-1+1 An=1, 2の場合も不等三 成り立つ。 21+n+-n(nー1)4-n(n-1)(nー2) 42"21+,Ci+,Ca+»Ca (等号成立は n=3のと 1 ,3 よって 27> 6 1各辺の逆数をとる。 (2) (1)の結果から 0< 27 n? 6 各辺にn?(>0) を掛 よって 0< く 27 n 2 6 lim =0 であるから カー n lim- -3D0 くはさみうちの原理。 7 0-4 検討)はさみうちの原理と二項定理 はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として, 上の例題のように, 二項 用いられることも多い。なお, 二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておくと x20のとき (1+x)"21+nx, 1 (1+x)"21+nx+号n(n-1)x 2 V

(1)の問題の3.4行目の式の出し方を教えてください

はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として,上の例題のように, 二項定理: 用いられることも多い。なお, 二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておくとよい。 OOO00 184 基本 例題106 数列の極限(5) ·はさみうちの原理2 nはn23の整数とする。 6 n? の値を求めよ。 2" (2) lim 基本 105 →0 指針> (1) 2"=(1+1)"とみて, 二項定理 を用いる。 (2) 直接は求めにくいから, 前ページの基本例題105同様,はさみうちの原材 る。(1)で示した不等式も利用。 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) n23のとき 2"=(1+1)"=1+Ci+»Ca+……+ Cn-1+1 An=1, 2の場合も不等式は 成り立つ。 21+n+ラn(n-1)+n(カー1)(nー2) -1が 42"21+,Ci+C2t,Cg (等号成立は n=3のとき。 5 n+ 6 よって 2"> n? 6 (2) (1)の結果から 0< 27 各辺の逆数をとる。 0-2 27 よって n 各辺にn°(>0)を掛ける。 lim=0 であるから lim =0 n→o n くはさみうちの原理。 0-4 検討)はさみうちの原理と二項定理- x20のとき (1+x)"21+nx,(1+x)"21+nx+→n(n-1)x° 練習 を正の整数とする。 n 106 (1)上の 検討の不等式(*)を用いて,(1+ 2 \2 ことを示せ