式の変形についての質問です。展開すると元の式になるのは納得できます。しかし自力で変形できるかと言われると、自信がありません。何か公式のようなものはあるのでしょうか？

する。 とき ①が成り立つ, すなわち 2k > k²+1 ② と仮定する。 n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,② から したわ 2k+1_{(k+1)2+1}=2.2 - (k2+2k+2) 0 =k2-2k の確率分布は>2(k2+1)-(k+2k+2) = k(k-2) 5であるから k(k-2)>0 es すなわち 2k+1>(k+1)²+1 n≧のときの数学的 帰納法 [1] n=1のときを示す。 [2] k1であるkについ て, n=kのときを仮 し, n=k+1のとき 示す。 ←25のとき kk-2)≥5-3>0 S+O は整数) n=1 25 のとき したがって 2,3,4のとき 「よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1],[2] から, 以上から 以上のすべての自然数nについて ① は成り立つ。 2"=n2+1 n≥5 2"<n2+1 のとき 122">n²+1 -0 33 すべての自然数nについて,次の事柄を証明すればよい。 である」 ...... ① x+y=p,xy=g(p,q は整数の定数)のとき,x+y” は整数 ・X)=6x [1] n=1のとき x+y=p n=2のとき x2+y2=(x+y)^2-2xy ++ X=PX-11- = p²-2q PIX=11-CAY とか2-2g は整数であるから, n=1,2のとき,①は成り立つ。 [2]n=k, k+1のとき①が成り立つと仮定する。 n=k+2のときを考えると よっ gk+2+y+2=(x+1+y+1)(x+y)−xy(x+y) x-(X=(x*+1+y+1) p− q(x*+ y*) 仮定より xk+1 + yk+1, xk + y は整数であるから, x4 +2 + yk+2も整 数である。 よって, n=k+2のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて x" + y” は整数である。 +3×

教えて欲しいです！！

次の問題を以下のように証明した。 しかし、この証明は誤っている。 A~C のうち、誤っている箇所を選べ。 また, この問題を正しく証明せよ。 (10点) |問題 次の条件によって定められる数列{an}がある。 3 1 a₁ = " an+1=1- (n=1,2,3, ......) 4 4an この数列の一般項がan= n+2 2(n+1) であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。 証明 an = n+2 2(n+1) ① 3 [1] n=1のとき, a1= なので、 ①は成り立つ。 [2]n=kのとき、 ①が成り立つと仮定する。 このとき k+2 ak= 2(k+1) ② n=k+1のとき、②のkをk +1 にすると A B C ak+1= (k+1)+2 2{(k+1)+1} k+3 (2k+4)-(k+1) k+1 =1- 2k+4 2k+4 2k+4 1 1 1 =1- =1- =1- 2(k+2) k+2 4ak 4. k+1 2(k+1) よって, n=k+1のときも成り立つ。 [1] [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 誤っている箇所 正しい証明

【数B】数学的帰納法に出てくる「ｋ+1」って何なんですかね?よくわからず形として覚えてしまっているのですが、説明等していただけるとありがたいです

四角で囲ってある部分はどのように計算したら出てくるのか教えてください

93 数学的帰納法によって,次の不等式を証明せよ。 *(1) nが自然数のとき 12 +22 +32 +....+n< ·+n²<· (n+1)3 3 sk/01 LANLの白粉のキ 2n2m+1

どうしてn=kのときAが成り立つということが出来るのですか。 教えてください🙇‍♀️

20 15 10 44 第1章 数列 5 B 等式の証明 例題 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。 13 1+2+3++......++ n = 1/1/n (n+1) 証明 この等式を (A) とする。 [1] n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 = -/12.1•(1+1)=1 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=k のとき (A) が成り立つ, すなわち 1+2+3+...+k=· =1/21k(k+1) が成り立つと仮定すると, n=k+1 のときの(A) の左辺は 1+2+3+…+k+(k+1)=1/21k(k+1)+(k+1) =1/2(k+1)(k+2) n=k+1のときの(A) の右辺は 1/12(k+1){(k+1)+1}=1/12(k+1)(k+2) よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が成り立つ。終 練習 数学的帰納法を用いて, 次の等式を証明せよ。 41 (1)1+3+5+…+(2n-1)=n² (2) 1・2+2・3+3・4+・ +n(n+1)=1/13n(n+1)(n+2) * 例題13の等式は, 等差数列の和の公式からも導かれる (14ページを参照)。 ここでは,数学的帰納法を用いて,この等式が成り立つことを証明する。

数学Bです。 青の矢印の部分がどうやって式変形されているのかわかりません。 教えてください🙇‍♀️

数学的帰納法を用いて, 不等式を証明してみよう。 例題が4以上の自然数のとき,次の不等式を証明せよ。 16 2">3n…① TAL NLの白粉には2人の打出

ここの-2の意味がわかりません どこから来たのでしょうか。 解説お願いします🙏

3 88a1 = 2, an+1=4-2で定められた数列{a}について, an≧2 となること an を数学的帰納法を用いて証明せよ。 2節・漸化式と数学的帰

どうして数学的帰納法を使わなくて良いんですか？ 解説ではn＝6までの場合を調べただけであって、その後も規則性が成り立つかどうかは分からないですよね。 数学的帰納法を使う時と使わなくても良い時の違いを教えてください

t C のx 重要 例題 関数を回合成した関数 171 x=1, x=2のとき, 関数 f(x)= 00000 2x-3 x-1 について, f2(x)=f(f(x)), f(x)=f(f2(x)),......, fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする。 このとき, f2(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。 O 指針 f(x) を求めるには, f2(x), f(x), 基本98 ...... と順に求めて、その規則性をつかむ。 この問題では, (fofk) (x)=x, つまりfk+1(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから, f(x) は x, f (x), f2(x),......, f(x) の繰り返しとなる。 なお,f2(x), fs(x),.... と順に求めた結果 f(x) の式が具体的に予想できる場合は、 予想したものを数学的帰納法 (数学B)で証明する,という方針で進めるとよい(→下 の練習 100 )。 3 1

(3)の解説がいまいちわかりません… 教えて欲しいです!

208 第7章 数 列 基礎問 134 漸化式の応用 すべて交わる→交点がの個増える 平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3 本も1点で交わらないとき,これらの直線によって平面がαn 個 の部分に分けられるとする. 209 (3)(2)で考えたように,(n+1)本目の直線はそれ以前に引いてある直 線とか所で交わり、その交点によって, (n+1)本目の直線は、2つ 半直線と (n-1) 個の線分に分割されている(下図)。 ① ② ③ n+1 (n+1) 本目の直線 (1) 1, 2, as を求めよ. (2) 本の直線が引いてあり、あらたに (n+1) 本目の直線を引 いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか. 1本目 2本目3本目 (3) (2) を利用して, an+1 を an で表せ. (4) an を求めよ. 精講 まず、設問の意味を正しくとらえないといけません. nが含まれて いるとわかりにくいので, nに具体的な数字を代入してイメージを つかむことが大切で, これが(1)です. (3)が最大のテーマです. 「αn+」 を α で表せ」 という要求のときに, 41, 42, α などから様子を探るのも1つの手ですが, それは137 以降 (数学的帰納法) に まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか を学習します. an と n+1 の違いは直線の本数が1本増えることです. 本目 この(n+1) 個の半直線と線分の1つによって、いままで1つであ った平面が2つに分割される. よって, (n+1)本目の直線によって, 平面の部分は (n+1) 個増える ことになる. .. an+1=an+n+1 (n≧1) 階差数列 (123) (4) n≧2 のとき, n-1 ana+(k+1)=2+(2+3+...+n) k=1 =(1+2+…+n)+1=1/12n(n+1)+1=1/2(n+n+2) これは, n=1のときも含む. ①+② autitl Cuti C₁ = Cula より Cu but, はネ 数は、 吟味を忘れずに 丁目 直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが, 問題 はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります. ポイント 漸化式を作るとき, n番目の状態を既知として, (n+1) 番目の状態を考え、 その変化を追う 解答 (1) (a₁) (a2) (a3) くり返し動作したときの番目anの求めかた. →①番目のを求める ① ① ②nauと(ntl)番目antの関係を求める. (6) ② ⑤ 27 演習問題 134 ③ (4) 右図のように円 01, 2, ･･･ は互いに接し, かつ点Cで交わる半 直線に内接している. このとき,次の問いに答えよ. 図より, a2=4 図より, 43=7 (1) 円 0 の半径が5, CA」 の長さが12で 12 図より, a1=2 (2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら ないので, (n+1)本目の直線は, それ以前に引いてあるn本の直線の すべてと1回ずつ交わっている。 よって, nか所で交わる. あるとき、円の半径r を求めよ. (2)番目の0 の半径を とすると き,n 101 02 (3) n+1の関係式を求めよ. を求めよ. ・11 A2 A1 第7章 は れる数

練習37の漸化式の問題です。初めの行の各項は正である。のが何故か分かりません。隣の漸化式の形から明らかとありますが、どうゆう時は背理法の説明がいらないのでしょうか。教えてください🙇

よって in +2") =22n-1+2" 練習 ③37 a1=1, an+1 3an 6an+1 によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 漸化式から、数列{an} の各項は正である。 = an+1 6an+1 3an の両辺の逆数をとると (1)(+2) (ガー 1=2+ 1 an+1 3an 1 1=b, とおくと an これを変形すると bn+1=136m+2 bn+1-3=1/2/3(bm-3) 1 また b1-3= --3=1-3=-2 a1 よって, 数列{bm-3} は初項 -2,公比 1/3 の等比数列であるか n-1 ら6-3=-2 bn-3-2 (2/13) すなわち bm=3- 3n-1 2 3"-2 = 3n-1 したがって an = 1 bn = 3n-1 3"-2 初項は特別扱い ←>0および漸化式の 形から明らか。 1 6a,+1 An+1 30m 1 11 3am 3 an ta +2の解は a=3 ← 3≧3 であるから 3"-2>0 [類 慶応大]