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基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲 (2) ON
xについての2次方程式x2(a-1)x+a+6=0 が次のような解をもつ
CHARTO SOLUTION
解答
うな実数aの値の範囲をそれぞれ求めよ。と
(1) 2つの解がともに2以上である。 (s)
(2) 1つの解は2より大きく,他の解は2より小さい。
MOIT
①から
実数解 α, β と実数kの大小
a-k, β-k の符号から考える
(1) 2以上とは2を含むから, 等号が入ることに注意する。
a≥2, B≥2 ⇒ (a−2)+(B-2)≥0, (a-2)(B-2) ≥0)
(2) a<2<ß #tel B<2<a ⇒ (a-2)(B-2)<0 O
x2-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式をD
とすると D={-(a-1)}2-4(a+6)=a²-6a-23
解と係数の関係により
a+B=a-1, aß=a+6
(1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の ①, ②, ③ が同時
に成り立つことである。
D≧0.
(a-2)+(B-2) ≥0
(a-2)(B-2)≥0
a²-6a-23≥0
*****.
a≦3-4√2,3+4√2≦a‥.
ゆえに
a+B-4≥0
a≥5
3
② から
よって
⑤
③から
aß-2(α+β)+4≧0
ゆえに a+6−2(a-1)+4≧ 0
(a-2)(B-2)<0
よって a+6-2(g-1)
CHOOS83
(a-1)-4≥0
④,⑤,⑥の共通範囲を求めて
3+4√2 ≤a ≤12
(2) <2<Bまたはβ<2<αであるための条件は
よって a≦12
p.71 基本事項 基本
6.
inf. 2次関数
f(x)=x2-(a-1)x+a
のグラフを利用すると
(1) D≥0,
( 軸の位置) ≧ 2,
ƒ(2) ≥0
f(2)
x=
a
2
(2) f(2)<0
(p.715 [補足] 参照)
