問2.1の証明が分かりません。 ※1枚目が質問内容、2枚目が仮定

問 2.1 例1 (b), (c) で R" に定義された各種の距離 dp : R" × R” → [0,∞) (p = 1,2,...,∞) において, R” の点列 πm:= (x(m),x(m),...,xmm))∈R(m= R" 2 1,2,･･･) が, 点æ= (π1, 2,...,πn) ∈R" に収束するためには,各k ∈ {1, 2,...,n} に対し (m) →πk (m→8) となることが必要十分であることを示せ.

⑵ってどのように解くんですか？

次の関数は最大値、最小値をもつか。 もしもつならば,その値を求めよ (1)y=2x-x2 (0≦x≦3) (2) y=cosx (0<x<27) (x)が閉区間「 で法な > A

解答冊子の最後の2行の部分が自力では導き出せないので解説貰えませんか?一応自分のノートの写真も置いておきます。

21=\J( sin x)ax 89. よって, I= (2) f(x)=3 とおくと, f(x)は閉区間 [-1, 1] で連続である. したがって, (1)の等式を用いると. Sr x sinx dx -Srf(sin x)dr = 70 =f(sin x) dx 0 π = 7/S0 2 = = =- = π 2 -S₁ 0 T π 8 T X 2 3+x² (sin x) dx 8 Ső (2 0 T 4 sin x 3+sin ²x sin x 4-cos²: sin x -dx X 2- cos x log 3 dx [log (2-cos x) - log (2+cos x)] 8 ·+· 2-cos x log2+ cos x sin x 2+cos x テーマ | I dx 漸化式と部分積分法. (1) I= logxdx=|xlogx-x]=1 (大分大)

ロピタルの定理をわかりやすく説明してください

スマｰ の例 入の ※解 青 の2 ※解 い 日入選程学 8 160 |練習 ④92 解答 演習 例題 92 ロピタルの定理を利用した極限 (1) lim- x→0 ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。 x-log(1+x) x² (1) は 指針 ロピタルの定理 (以下)は、 まず前提条件 lim f(x) が不定形 (10) のとき や g(x) また 0 また f' (x) lim x-a g'(x) (2) は また ( 2 ) 分母・分子を微分した式の極限 lim- x-00 (1) f(x)=x-log(1+x), g(x)=x2とすると 1 f'(x)=1- 1+x したがって f'(x) lim x-0 g'(x) とすると (1) lim x→0 したがって の不定形で (3)の0×(−∞)は変形するとの不定形になる。 (x²)' もまた な場合は,更に分母・分子を微分した式の極限を考える。 (e²x), x-log(1+x) x² (2) f(x)=x^2,g(x) = ex とすると lim x-x0 g"(x) lim x→0 XC -=lim x→0 lim X→∞ f'(x) lim x++0 g(x) (2) lim -=1 (有限確定値) ならば lim -=lim X→∞ x² e²x x→+0 x² x+∞0 0²x (3) lim xlog x x→+0 f'(x) = - =1/1₁ x f'(x)=2x,g'(x)=2e2x, f"(x)=2, g" (x)=4e²x f" (x) 500 2 4e2x =0 EXCOVE x 1+x=lim 2 (1+x)=1/ 2x x→02(1+x) 2 1 x 1+x '(x)=2x =0 x -=lim x→+0 1 x² したがって limxlogx = 0 を確かめてから適用する。 (3) xlogx= logx であるから, f(x)=10gx,g(x)=1 1 g'(x)=- 1 (2) lim 20 1 x² エール g(x) x→+0 f(x)=1 lim(-x)=0 ロピタルの定理を用いて,次の極限値を求めよ。 ex-e-x x-sinx x x→0 x2 8 8 18 の不定形になる。このよう 00000 p.159 参考事項 |lim{x-log(1+x)}=0, x→0 limx2=0 x→0 x→0であるから, x=0の近くで考える。 X18 <lim limx2=8, lime²x=8, lim2x=∞, lim2ex = ∞ lim f" (x ) g" (x) f' (x) g'(x) X-∞ lim =8 x→+0 x → =1=> =lim x-a =l <lim logx= -8, x→+0 (3) lilog 1 x+1 f(x) g(x) ②86 f(x)= EXER ③87 平均値 (1) 注意 ロピタルの定理は, 利用価値が高い定理である 高校数学の範囲外の内 容なので、 試験の答案とし てではなく、検算として使 う方がよい。 (2) (1) (2) ④88 関数 (1) (2) (3) ④89 (1 (2 HINT

（1） 【0,1】で連続とかどうやったらわかるんですか？？

186 基 本 例題 117 中間値の定理 10000 (1) 方程式 x*-5x+2=0 は,少なくとも1つの実数解をもつことを示せ。 2 (2) 75xx-6cosx=0 ,-^<x<-3, -1<x<^ 方程式x-6cosx=0 は, 3 れぞれ実数解をもつことを示せ。 1① f(x)がasxsb かつ (②f(a)とf(b)が異符号ならば? CHART S OLUTION 実数解の存在 f(x)=0asxcbに 異符号になる2数を見つける 連続が条件 少なくとも1つの実践解をもつ 中間値の定理.174 基本事項 7③ を利用。 (1) f(x)=x²-5x+2 とすると, f(x)はxの整式で表された関数であるから連 続関数 (4次関数)。 よって, f(a) f (b) <0 となる適当な閉区間[a, 6] を見つ ければ, 方程式f(x)=0 は a<x<bの範囲に少なくとも1つの実数解をも (2) f(x)=x-6cosx とすると, f(x)は閉区間 π [2/-7 [-x で連続で 3 3 つ。 (2) 関数y=x, y = cosx は連続関数であるから, 関数f(x)=x-6cosx も連 続関数である。連続関数の差は連続関数。 どうかってわかった??! 解答 (1) f(x)=x^-5x+2 とすると, f(x)は閉区間[0, 1] で連続 f(0)=0-0+2=20,f1)=1-5+2=-2<0 よって, 方程式 f(x)=0は0<x<1の範囲に少なくとも 1つの実数解をもつ。 linf. 閉区間[1,2] で連続, f(1) = -2<0, f (2) = 8 > 0 から, 1<x<2の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ,と示して もよい｡ 9-2π √(-3x)-2-²² >0. s(-3)--(+3) <0. <x<πの範囲に、そ f(x)= π+6>0 よって、方程式f(x)=0は12/3/7/3 の範囲に,それぞれ実数解をもつ。 PRACTICE･･・･ 117 ② π p.174 基本事項 79²172( [016]) 3 ...... <x<T Wy 2 O -2--- |y=f(x) y=x,y=cosx が区間 で連続であ ることから(p.174 基本 事項 ⑥③ 参照)。 重要 仮 xは実装 x²- につい (1) こ (2) x y=1 CHART (1) 解答 (2) (1) この 級数で x2+x= また, x -1-- よって 以上に x=- x<-1 ゆえに よって PRACTIC する

質問です。 閉区間［2,5］と書くところを、 区間［2,5］と書くのは良くないのでしょうか?? 教科書やワークを見ていても、しっかりと閉区間または開区間と書いてからカッコを使って表現していて、、 なんだか気になったので、教えて下さい〜!! 宜しくお願いします。

数学得意な方、教えて下さると大変助かります。 赤線部分が理解できません、、

限 (平均値の定理の利用) 例題 45 平均値の定理を用いて, 極限 lim log. ex-1 X÷0 XC 針f (b) -f (a) が含まれる式の極限の計算には,平均値の定理の利用が有効。 関数 f(t)=e* はすべての実数tで微分可能で f'(t)=e* -1<x<1, x≠0 として 区間 [0,x] または [x, 0] において平均値の定 理を用いると 別解 lim log x→0 34 平均値の定理 77 e-1 ==e°, 0<c<x£*£x<c<0 x-0 を満たす実数cが存在する。 x→0のときc → 0 であり ec→ 1 ex-1 よって lim log: =lim loge=log1 = 0 XC e-1 x -=lim log を求めよ。 f(x) f(0) x-0 -=log/' (0)=log1 = 0

数学得意な方お願いします。 微分法でつまずいているのですがさっぱりです。

関数f(x) の開区間(α, b) に微分可能でない点が1つでもあると、 平均値の定理は成り立たない場合もある。 たとえば, 関数f(x)=|x| は, 閉区間[-3, 3] で連続であり, (3)-∫(-3)|3|-|-3|=0 3) – 1 y₁ -3 3 3-(-3) 3-(-3) であるが,f'(c) = 0, -3<c<3 を満たすc は存在しない。 これは, 開区間 (-3,3) において, f(x) が x=0 で微分可能でないからである。 y=|x| 0 x

368全てに該当するんですけど、増減表を書いたあとのxにいくつか値を代入している過程の意味を教えてください。 例えば(1)ならf(-3)、f(-2)、f(0)みたいなやつです

*(5) xcosx≤x+sinx (x≥0) 15$ (F)0 368. 次の方程式の異なる実数解の個数を調べよ。 *(1) x²+4x³+6x² +8x+1=0 *3) 1+x-tanx=0 (0≤x≤2r) mil 0= *gol (2) logx=2-1 301x (4) x=2sinx ~ X800 anty (8)

関数の連続性について質問です このような問題で開区間、閉区間は気にしないのでしょうか？ 何故代入していいか教えてほしいです🥲🙌

33 【区間におけるの連続】 次の方程式は、( )内の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを示せ。 (1) x-cosx = 0 (0<x<π) (2) 2-3x = 0 3<x<4 O.Tを含まないのに f(0) f(t)を求めて示してもいいのでしょうか?