Question

ふぃり

数学得意な方、教えて下さると大変助かります。
赤線部分が理解できません、、

限 (平均値の定理の利用)
例題 45 平均値の定理を用いて, 極限 lim log. ex-1
X÷0
XC
針f (b) -f (a) が含まれる式の極限の計算には,平均値の定理の利用が有効。
関数 f(t)=e* はすべての実数tで微分可能で f'(t)=e*
-1<x<1, x≠0 として 区間 [0,x] または [x, 0] において平均値の定
理を用いると
別解 lim log
x→0
34 平均値の定理 77
e-1
==e°, 0<c<x£*£x<c<0
x-0
を満たす実数cが存在する。 x→0のときc → 0 であり ec→ 1
ex-1
よって
lim log:
=lim loge=log1 = 0
XC
e-1
x
-=lim log
を求めよ。
f(x) f(0)
x-0
-=log/' (0)=log1 = 0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

青

-1<x<1に関しては平均値の定理の定義を考えると書いた意味がわかる気がします。まず開区間を作ってから閉区間を作ってやって正の方向と負の方向から0に近づけて行きたかったのだと思いますね。
別解に関しては完全に微分の意味に式を持って行っています。

ふぃり

こちらも大変お手数おかけしました😭
一点質問です。平均値の定理は分かるのですが、「定義を考える」とは-1<x<1なら0に収束するとかそういうことでしょうか…？
別解はバッチリです。(イミが分かりやすかったためすぐ納得できました)

青

わかりにくくてごめんなさいね🙏
要するに単純にどこでも良いから区間を決める必要があったからなんですよね。最終的な収束はx→0であることをふまえると一番簡単なのは-1<x<1ですから模範解答はそのようにしたのでしょう。

ふぃり

いえいえとんでもないです…むしろこちらこそごめんなさい🥲　私も最初どこでも良いと思っていたのですが納得出来ました！結構模範が丁寧過ぎたりするので理解にとどめておきます！
度々本当にありがとうございました🙇🏻‍♀️