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112-
-4STEP数学
371
(12)と買取を入れ替えて、をそろえる。
abc.dを満たすと
(3)1.5とする対数で表し、 log
数で表し、
log4-log.0.3
logo4Toge
(1)から
log 4-log,3
4は1より大きいから
log,03 <0<log,2<log.3
したがって
Tog.0.3
ゆえに log4<log,4<log,4
(2)の変換公式から
log 0.5-- logas 0.3
log: 0.5 Togas
log 0.5Togasa
373 (1)数であるから
よって
ゆえに
整理して
すなわち、
x>0 かつ+30
x>0
変形すると
(x+3)=2
x+3x40
(x-1xx+4)-0
①から、解は
x=1
(2) 数は正であるから
よって
(x+3)
2x+30 かつ 4x+10
方程式を変形すると
すなわち
ゆえに
log,2
整理して
すなわち、
①から、解は
log (2x+3x4x+1)=log.
log (2x+3.4x+1)=log.
(2x+34x+1)=25
4x+7x-11=0
(x-1x4x+11)=0
x=1
(3) 真正であるから
3->0 2x+18>0
よって
9x3••• D
方程式を変形すると
log, (3-x)=-
log2 (2x+18)
log:4
すなわち
したがって Togas2
ゆえに
<<< Togas 0.3
2
両辺に2を掛けて
0.5は1より小さいから
logas3<logas2<0<logas 0.3
log0.5logy0.5loga 0.5
(3) 1.5mlog,4log,4=log,8
1.5 log,9¹-log,9%-log,27
9は1より大きいから
すなわち
ゆえに
log2(x)10g (2x+18)
210g(3-x)=log(2x+18)
log (3-x)=log,(2x+18)
(3-x)²=2x+18
x²-8x-9=0
よって
不等式をするとか (3)10
-3x-1050
(x+2xx-5)≤0
-25155
113
であるから、
1>3
3>かつぇ0
logo-3)x log 10
() であるから
方程式を変形すると
(
すなわち
(
1200
1-9.
これを解いて
①のから、解は
②
(3) 真正であるから 1-x>0 かつ3-0
よって<1e
1+log:3log2log3logであるから、
与えられた不等式は log2(x) (3) <log,6
2は1より大きいから (1-xx3x) <6
整理して
を解いは
x-4x-3<0
2-√7 <x<2+√T
2-√<x<
375 (1) 方程式の辺は正であるから、2を底上
すると
よって
ゆえに
log,2'-log 3-1
x-(2x-1)log,3
(2log:3-1)x-log,3
20g 3-10 であるから
2-logs2
xlog,3
(2) 方程式の周辺は正であるから、とする
数をとると
よって
ゆえに
logs5log:3+
2x=(x+2)logs3
(2-log,3)x 2log 3
2logs30であるから
すなわち (11
*()*
P-1-250
-15152
-15log,152
log, slog, slog,
STEP A・B、発展問題
したがって
1-1.
これらは①を満たす。
数は正であるから
370
2log 3-1
不等式をすると(logylog
D
方程式の周辺の3とする数をとると、
すなわち
となる。
logym!とおくと
よって
これを解いて
ゆえに
(log-log~250
Togy-250
(+1-2150
すなわち
210g 3
2-log,3
3は1より大きいから 15159
の辺のとする対数をとると。
0.5. Wit
解は210g5-1 となる。
(4)数は正であるから
すると
6019
0.1は1より小さいから
loga (x-1)" <loga (7-x)
(x-1)>7-2
376 (1)真数は正であるから
x>0... ①
すなわち
x>0x0
logzx=t とおくと
を変形すると (logsx410g+3=0
12-41+3=0
よって
x²-x-6>0
(1-3)=0
整理して
よって
すなわち
(x+2x-3)>0
=1.3
ゆえに
x-2.3< 2
3 <x<7
1 すなわち logzx=1のとき
o2logx150
logyaf とおくと
(8-3x+5)>0
これを解いて -5.3
ゆえに
+21-15>0
x=212
これらは①を満たす。
3 すなわち logzx=3のとき
x=2,8
x=28
log<-5. 3<log
すなわち logyx<log243.
logo
x1>0かつ7-x>0
1 <x<7 ...... ①
よって
与えられた不等式は
41より大きいから
1.5<log,9
ゆえに
log.8<log.9
整理して
すなわち
(+1%x-9)=0
また
①から 解は
log, 25<log,27
x=-1
log, 25 <1.5
374 (1) 真数は正であるから
したがって
log,25 <1.5<log.9
372 (1) 対数の定義から
(x+2)x+5)=10'
して
+7x=0
すなわち
x+7)0
これを解いて
x= 0.7
数の定義からー (1/3) 1
整理して
これを解いて
すなわち
x6=0
(x+2x-3)=0
①.②から. 解は
これを解いて
x=-2, 3
O 84
第5章 指数関数と対数関数
4 対数関数
1 対数関数 y=logx (a>0αキ1)
1. 定義域は正の数全体, 値域は実数全体。
0<p<glog♪ <logaq
2.
>1のとき
増加関数
0<a<1 のとき
減少関数
0<p<g logap>log.g
0<a<!
a>1
0
近
y-log.x
3. グラフは点 (1,0), (a, 1) を通り, y軸を漸近線としてもつ。
4. y=logx のグラフは, y=a* のグラフと, 直線 y=x に関して対称。
STEPA
y=loga
(2) y=5*
*365 次の関数のグラフをかけ。 また,(2),(3)について (1) との位置関係をいえ
(1) y=logsx
(3) y=logx
✓ 366 次の関数の値域を求めよ。
■ 次の方程式を解け。 [372,373 ]
372 (1) logio (x+2)(x+5)=1
373 (1) log2x+10g2(x+3)=2
*(3) 10gz(3-x)=1oga (2x+18)
✓ 374 次の不等式を解け。
*(1) 210go.1 (x-1) <logo.1 (7-x)
第2節 対数関数
85 O
(2) log}(9+x-x)=-1
*(2) loga(2x+3)+loga (4x+1)=210g5
*(2) logia(x-3)+logi0x≦1
(3) log2(1-x)+log2(3-x) <1+10g23
例題 36 次の方程式を解け。
(1) 2-3x-1
(2) (logs.x)-log.x=0
指針 (1) 底が2と3で異なるから、 両辺の対数をとる。
(2) logsx=t とおくと, tの方程式になる。
解答 (1) 方程式の両辺は正であるから, 2を底とする対数をとると
x=(x-1)log3
(1) y=logx (1≦x≦33)
*(2)y=logx(x2)
■次の数の大小を不等号を用いて表せ。 [367368]
よって
(logz3-1)x=logz3
log:3
log3-10 であるから
x=log:3-1
1-log2/
367 (1) logz0.5, log23,1
logo.30.5, 0, logo.s2
▽368*(1) loga8, logs 16, 2
(2) log43, log15, -2
3を底とする対数をとると
(2) 真数は正であるから x>0 かつx>0 すなわち x0 ...... ①
方程式を変形すると (logsx410gxx=0
logsxt とおくと P-4t=0
よって t(t-4)=0 ゆえに t=0,4
すなわち logsx=0,4
x=1, 81
369 次の方程式、不等式を解け
これらは①を満たす。
*(1) logx=-5
(2) log4x=4
(4) logs (3x-1)=2.5 *(5) loginx3
*(7) log}(x-1)>1
*(3) log(x-3)=12
(6) logas x-2
✓ 375 次の方程式を解け。
*(1) 2=3°-1
(2)52=3+2
(8) log(1-2x)=0
STEP B
370 次の関数のグラフをかけ。
*(1) y=log2(x-2)
(2)y=logx+1
(3) y=login(x)
376 次の方程式、不等式を解け。
*(1) (logsx)*-logzx +3= 0
(3) (logix)-log.x³-250
(2) (logx)-logx=0
(4) (log}x)+log/x-15
377 次のxについての不等式を解け。 ただし, は1と異なる正の定
(1) loga(x+3)<log (2x+2)
(2) loga(x-3x-10)≧1
371 次の数の大小を不等号を用いて表せ。
ヒント
log4, log4, log:4
(2) /loga.0.5, log20.5. log.0.5
3770<a<1の場合と>1の場合に分けて考える。
log.9, log, 25, 1.5
