線を引いている部分についてです。 計算過程を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

485 1から順に自然数を並べて,下のように1個,2個,4個, 基本例題9/ 群数列の基本 となるよ うに群に分ける。ただし,第n群が含む数の個数は 2"-1 個である。 1|2,3|4,5, 6,7|8, 1) 第5群の初めの数と終わりの数を求めよ。 (2) 第2群に含まれる数の総和を求めよ。 【類京都産大) 重要98 CHART O OLUTION 群数列の基本 第々群の最初の項や項数 に注目… 例題のように、群に分けられた数列 を群数列という。 (1) 第4群の末項までの項の総数を Nとすると, 第5群の初めの数は, 自然数の 列の第(N+1)項である。また,自然数の列の第1項の数は1となる。 (2) 連続する自然数の和であるから公差1の等差数列の和で,あとは初項と項 数がわかればよい。初項は(1)と同様にして求まる。項数は問題文から,すぐ もとの数列 に頃を書く 区切りを入れる と分け方の規則 がみえてくる 区切りをとると もとの数列の規 則がみえてくる 3章 群数列 12 1項は 3-2 っすいように 上下にそられ にわかる。 解答) (1) 第4群の末項までの項の総数は 1+2+2°+2°=15 0ぶである スに注意。 数別にはる 1+2+22+2°+2*=31 第5群の末項までの項の総数は よって,第5群の初めの数は 16, 終わりの数は 31 (2) n22 のとき, 第(n-1) 群の末項までの項の総数は 二比3, n-1 2"-1-1 -=2"-1-1 2-1 *22*-1は,初項1,公比 n-1 22*-1= k=1 ゆえに,第n群の初めの数は (27-1-1)+1 すなわち2"-1 これは n=1 のときにも成り立つ。 よって,第n群に含まれる数の総和は,初項が2"-1公差が 1. 項数が 2"-1 の等差数列の和となるから,求める和は 2の等比数列の初項か ら第(n-1)項までの和。 別解第n群の終わりの数 は2"-1であるから,和は k=1 -2-1(2*-1+(2"ー1)} 2 27-1(2-27-1+(2"-1 _1)·1}=2"2(3-2"-1-1)詳の =2"-(3-2"-!-1)() 2 1 種々の数列

郡数列です。 (2)が全くわからないです。 教えてください🙇🏻‍♀️ 赤でまるしている所が(2)です💦

練習 第n群がn個の数を含む群数列 111 について 1|2, 3|3, 4, 5|4, 5, 6, 7|5, 6, 7, 8, 9|6, (1) 第n群の総和を求めよ。 (1) 第n群は初項n, 公差1, 項数 nの等差数列をなすから,そ 1 の総和は n(2n+(n-1)·1}=n(3n-1) |の第々群は数列k, k+1, k+2, ……, 2k-1 であるから, 99が←第ん群は ん。 第々群の第1項であるとすると り項数がんであ I十(1-1の等差数列)。 k<99<2k-1 すなわち 50<R<99 50+(1-1)-1=99 よって ゆえに 1=50 Te したがって,第50 群の50 番目 に初めて 99 が現れる。 1 3) 1+2+3+… +m= m(m+1) m そ2i=-m(- i=1 ゆえに,第m群の末項はもとの数列の第m(m+1) 項である。 第1999 項が第m 群にあるとすると そまず,第1 まれる群を (m-1)m<1999<→m(m+1) 2 すなわち(m-1)m<3998<m(m+1) 2

郡数列の質問です！ (2)の赤で印つけているところの 意味がわからないです、、 教えてください！！🙇🏻‍♀️

(2))初めて99 が現れるのは, 第何群の何番目か。 練習 第n群がn個の数を含む群数列 111 1|2, 3|3, 4, 5|4, 5, 6, 7|5, 6, 7, 8, 9|6, (1) 第n群の総和を求めよ。 …について (1) 第n群は初項 n, 公差1, 項数 nの等差数列をなすから, そ 1 {. 2 n(2n+(n-1)·1}=号n(3n-1) の総和は (2) 第を群は数列k, k+1, k+2, ……, 2k-1であるから, 99が←第え群は ん り項数がkであ 第々群の第1項であるとすると 1の等差数列)。 k<99<2k-1 すなわち 50<k<99 50+(1-1)-1=99 ゆえに 1=50 よって したがって,第50 群の 50 番目 に初めて 99が現れる。 m 3) 1+2+3+……+m= m(m+1) -2i-- そとi=-m i=1 ゆえに,第m群の末項はもとの数列の第m(m+1) 項である。 第1999 項が第m 群にあるとすると そまず,第1 まれる群を ;(m-1)m<1999<m(m+1) 2 2 すなわち(m-1)m<3998<m(m+1) …

物性物理学の本を読んでいて、質問があります。 本では， 量子力学による1電子原子の電子状態の記述について 添付のように述べていて， (1.12)式までは良いのですが， 赤枠で囲ったところの式(1.13)の導出過程が知りたいです。 よろしくお願いいたします。

$1.2 1電子原子の電子状態 1 p° = 2me 2 a 1 V= 2m。 2m。(r+ r dr 原子においては,原子核を中心としてそのまわりの半径10-10m程度の領 の形となる。ここでAは次のような角度に関する微分演算子である。* 域を電子が運動している。原子の構造を理解するためには,この電子の振舞 1 sin 0 d0 1 を調べなくてはならない。まず最も単純な場合として,Ze の正電荷をもった A= - (sin 0 sin' 0 核のまわりを,1個の電子が運動している場合を考える。Z=1であればこ 1電子原子のハミルトニアンがこのように具体的に与えられた.このハミル れは水素原子そのものであり,Z =2であれば He* イオンということにな トニアンに対するシュレーディンガー方程式(1.9) は2階の微分方程式の形 る。 をしている。これを満たす解として波動関数T(r, 0, φ) が求まれば,1電 原子の質量のほとんどは核に集中しているので、そこを重心として座標の 子原子における電子の分布の様子がわかる。ところで,原子に属する電子の 原点にとってさしつかえなかろう。電子は -e の電荷をもち,核の正電荷 波動関数は,核から十分遠方(r→0)ではゼロに収束するはずである。こ Ze とクーロン相互作用をもつ。そのポテンシャルエネルギーは電子と核の のような境界条件の下で(1.9)式を考えると,電子のエネルギー固有値 E が 間の距離rに反比例し, 離散的な特定の値をとるときのみ解が存在する。これは量子力学系の顕著な Ze? V(r) = - 特徴である。 4TE0ア 最も低いエネルギー固有値を与える解は球対称で、次の形をしている。 である。* これは万有引力と同じ形をもつので,古典的に考えれば,地球が 17Z/2 ( exp(-) 太陽のまわりを回るように電子は核のまわりを楕円軌道を描いて回ると考え 『(r) = たくなる。しかしながら,このような極微の世界まで古典ニュートン力学が ただし,ここで そのまま成立するわけではない,電子の振舞を正しく理解することは,今世 4TEh An = mee? =0.529 A 紀初頭登場した量子力学をもってはじめて可能となった。量子力学によると, 電子の存在確率は波動関数 『(r)の絶対値の2乗に比例する。定常状態では 『(r)は次のシュレーディンガー方程式を満たすというのが量子力学の骨子 はボーア半径とよばれる。 である。 H V (r) = ET (r) ここで はハミルトニアンで,電子の運動エネルギーとポテンシャルエネ ルギーの和であり, 1 p°+ V(r) 2m。 H = の形をもつ。** 第2項のポテンシャル項は方向によらず,核からの距離のみ に依存するので,全体を極座標を用いて表した方が都合がよい。このとき, 第1項の運動エネルギーの部分は Eo = 8.8542 × 10-12 F/m は真空の誘電率。 m。は電子の質量,p= - iAVは運動量オペレータである。ただし,▽はナプラと読 み,直交座標系では 定,立,えを直交する単位ペクトルとして、V= -+ の形をもつ微分演算子である。カ = h= 6.626× 10-4JSはプランク定数。

13、15、18の回答をお願いします。

た犯罪の処罰を除き, 自分の意思に反 ないことを規定 * あらかじめ定められた手続きによらなければ, 人を逮捕したり処罰し てはならないとする( ある行為が犯罪として刑罰を科せられるためには, どのような行為が 犯罪とされ,その犯罪にはどのような刑罰が科されるか, あらかじめ 定められていなければならないという原則%=D ( 3 精神の自由 ○第二次世界大戦中, 社会主義思想や反戦思想など厳しく抑圧→国民は 思想·良心の自由を奪われた ○E しょばつ 6 )の保障を明記 の )を明記 )が事実上の国教とされ, 信教の自由が奪われた →この反省から, ( ③ ( 0 )(第19条),( 0 ) (第 20条), )(第21条第1項) を保障 )(第23条),( )訴訟…入社試験で学生運動を隠していたとして本採 用を拒否されたことに対して, 本採用拒否は思想 良心の自由を 侵害にあたるかが争われた裁判。最高裁は「思想·良心の自由は私 人間には直接適用されない」との判断を下した。 →信教の自由では, 特定の宗教に特権をあたえたり, 国家みずからが 宗教活動をしたりすることを禁じる ( じんかん )の原則を規定 D )※ )訴訟…靖国神社などの例大祭やみたま祭に玉ぐし料 を県の公費で負担したことが政教分離に違反するかが争われた裁 判。最高裁は違憲判決を下した 4経済の自由 )の自由(第22条)と( 規定 の )の不可侵(第29条)を ※市民革命当初は不可侵の権利としてもっとも厚く保護された この権利は他の人権と衝突した場合に( るだけでなく, 不平等を是正し福祉国家を実現していくためにも制 約することができる権利と考えられている しょうとつ )することができ ぜ せい

印のついているところでどの式に7k−4を代入しているのでしょうか？ よろしくお願いします

OOOO0 524 別解 4 {an}: {b}: 重要例題93 2つの等差数列の共通頂 よって 基本 85 重要100 の一般項を求めよ。 その一 (公差)=(n の係数) 補定 On=2+7(n-1)であるから. 数列{b.}の初項は 2, 公差は7 である。 具体的に項を書き出してみると 指針> an=1+4(nー1) であるから、 数列 {an}の初項は 1, 公差は4, +4は7回 +4 +4 +4+4 +4 +4 +4 tan}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 37, 30, 51, 58, 65, 44, {bn}: 2, 9, 16, 23, +7 +7 +7 +7 +7は4回 よって {ca}:9, 37, 65, … となり, これは初項9, 公差 28の等差数列である。 公差4,7の最小公倍数 このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない (相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率である。そこで,1次不定方程式(数学 A)の解を求める方針で解いてみよう。 共通に含まれる数が, 数列 {an} の第1項, 数列{bn}の第 m項であるとすると よって,1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから,まず この不定方程式を解く。 … 解として,例えば, 1=(kの式)が得られたら, これをa=4l-3のlに代入すればよい。 ただし,kの値の範囲に注意が必要である(右ページの検討参照)。 a=bm 解答 4/-3=7m-5 4/-7m=-2 1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから 4(1+4)-7(m+2)=0 4(7+4)=7(m+2) 4と7は互いに素であるから, kを整数として a=bm とすると よって =3, m=2 とした場合は 検討参照。 ゆえに 1+4=7k, m+2=4k すなわち ここで,1, mは自然数であるから,7k-421かつ 4k-221 より,&は自然数である。 よって,数列 (c}の第ん項は, 数列 {an} の第1項すなわち第 (7k-4)項であり 1=7k-4, m=D4k-2 と表される。 くたはん2号かつたとを 満たす整数であるから, 自 然数である。 4(7k-4)-3=28k-19 求める一般項は, kをnにおき換えて (数列(b}の第 m頂すなわ ち第(4k-2)項としてもよ C,=28n-19 い。

数列の問題です。 別解の方では簡単に解けるのですが、正規の回答の方の解き方がわかりません。 この解説よりも分かりやすく解説して欲しいです🙇‍♀️

重要 例題93 2つの等差数列の共通頂 OOO00 等差数列{an}, {bn} の一般項がそれぞれ an=4n-3, bn=7n-5であるとき, の2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列 {c} の一般項を求めよ。 基本 85 重要100 1)であるから 教列{a}の初項は1,公差は 4, |(公差)3 (n の係数)

どうやって考えれば最初から28n-19になるか教えてほしいです！ お願いします🙇‍♀️

OO000 重要 例題93 2つの等差数列の共通頂 等差数列{an}, {bn} の一般項がそれぞれ an=4n-3, bn=7n-5であるとき、。 の2つの数列に共通に含まれる数を,小さい方から順に並べてできる数列c の一般項を求めよ。 基本 85 重要100、

zに対する変分δI₁の出し方がわかりません、教えてください

2 一般相対性理論 i番目(i=1, 2, ……, N) の質点の座標を z"(ri) あるいは略して z(i), 固有時を T () は dz"(ri)ldriを表わす。 また g() とは gpola(i)) のことである。このI さて(2.43) の 2(i) に対する変分を計算してみよう.ここでながi番目の粒 となる。したがって Isは, 任意の座標変換に対してその値が不変, つまりス またその質量をmi とすると, この物理系の全作用積分Iはつぎのようになる: 27 ここでムは Iム=-2mcv-gm()P()E(Hdru (2.43) は次のようにかくこともできる: I、= -2mc||v-g()を()ぜ(みのー2(i)dzid"a. (2.43)) 1 Iはつぎの量である: =1 Jadu 1 1 I,= - 2cK. -g·Rd*a. (2.44) ミ 2cK, 一般にテンソルにV-gのかかった量をテンソル密度とよび, それをもとの テンソルと区別するために花文字で表わすことにする。特に上にでてきたRの ように,スカラーRにV-gのかかった量をスカラー密度とよぶ。 座標変換 →'に対してスカラーは R(x) = R'(x') であるが,スカラー密度は, V-gという量がついているために R(r) = R(®,.) (2.45) あるいは簡単に al2) という関係をみたす。 (2.45) から (e co)5 (2.45) R(x^)d*a' = R(2)d*x = スカラー カラーである。 子の固有時であることに留意すると

ハテナのところのL、mは自然数であるからというのはなぜわかるのですか？

OO00 等差数列 (a}, {(b,} の一般項がそれぞれan=4n-3, bn=7n-5であるとき、 重要 例題93 2つの等差数列の共通項 の一般項を求めよ。 基本85)(重要10、 指針> a,=1+4(n-1)であるから, 数列 (an} の初項は 1, 公差は4. b。=2+7(n-1)であるから, 数列(bn} の初項は 2,公差は7 である 4(公差)=(nの 具体的に項を書き出してみると +4は7回 +4 +4 +4 +4 +4 +4 +4 Uく {and:1. 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61 e {bn}: 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, +7 +7 +7 +7 +7は4回 となり,これは初項 9, 公差28の等差数列である。 公差4,7の最小公倍数 よって {cn}:9, 37, 65, このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからか。 (相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率である。そこで, 1次不定方程式(%s A)の解を求める方針で解いてみよう。 共通に含まれる数が, 数列 {an} の第1項, 数列{b.}の第m項であるとすると よって, 1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 41-7m=-2 の整数解であるから、ます。 この不定方程式を解く。 解として,例えば, 1=(kの式)が得られたら, これを a=4l-3の1に代入すればよい。 ただし,たの値の範囲に注意が必要である(右ページの検討参照)。 a=b。 解答 a;=bm とすると 4/-3=7m-5 よって 41-7m=-2 =3, m=2とした場合は 検討参照。 1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから 4(1+4)-7(m+2)=0 4(1+4)=7(m+2) 4と7は互いに素であるから, kを整数として 1+4=7k, m+2=4k 1=7k-4, m=4k-2 ここで,1, m は自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221 ゆえに のすなわち と表される。 イ&はんかつね 満たす整数であるから。 然数である。 より,kは自然数である。 よって,数列 {cn} の第ん項は, 数列 {an} の第1項すなわち第 数列(b,}の第m頂す ち第(験-2)項として (7k-4)項であり 4(7k-4)-3=28k-19 い。 求める一般項は, kをnにおき換えて C,=28n-19