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180
基
0三
基本 例題113 絶対不等式
見A
う
(2) 任意の実数xに対して,不等式 axー2/3x+a+2S07か成り立っよう、
数aの値の範囲を求めよ。
すべての実数xに対して, 2次不等式ポ+(k+3)xール>0が成り立っ、
ナイスッ
定数をの値の範囲を求めよ。
(演習129,
AP.171 基本事項 6]
指針
常に ax'+bx+c>0→a>0, D<0
C
(1) の係数は1(正)であるから, D<0が条件。
(2) 単に「不等式」 とあるから, a=0(2次不等式で
ない)の場合とaキ0 の場合に分ける。
補足 ax+bx+c>0に対して, a=0 の場合も含め
ると、次のようになる。
常に ax+bx+c>0→a=b=0, c>0; またはa>0, D<0
Sと
x
[a<0, D<0]
[a>0, D<0]
解答
(1)の係数が1で正であるから, 常に不等式が成り立 |「すべての実数x」または 「任意の実
つための必要十分条件は, 2次方程式
x*+(&+3)xーk=0の判別式をDとすると
D=(k+3)°-4-1.(ーk)=D°+10k+9=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より (k+9)(k+1)<0
ゆえに -9<く-1
数x」に対して不等式が成り立つと
は,その不等式の解が, すべての実
数であるということ。
D<0
(1)のD<Oは、下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
(2) a=0のとき、不等式は -2、/3x+2<0 となり、例え(*) グラフがx軸に接する,また
ばx=0のとき成り立たない。
aキ0のとき,2次方程式 ax°-2/3x+a+2=0 の判別
式をDとすると, 常に不等式が成り立つための必要十
分条件は
はx軸より下側にある条件と同じ
であるから,D<0ではなく D<0と
する。
a<0 かつ DS0
-(-V3)-a(a+2)=-α'-2a+3=-(a+3)(α-1)
であるから,Dハ0より
(a+3)(a-1)20
よって
aS-3, 1Sa
a<0との共通範囲を求めて
すべての実数 xについて, 2次不等式 ax+bx+c>0が成り立つ
→2次関数 y=ax"+ bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
→a>0(下に凸)かつ D=6ー4ac<0 (x軸との共有点がない)
aミ-3
(1) 不等式x-2x2kx-4の解がすべての実数であるような定数kの値の範囲
X
[a>0, D<0]
練習
113
の
を求めよ。
