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4 アステロイド-
図のようにxy平面上に点A(a,0), 点B(0, b) をとり,線分ABを
YA
1 ttの比に内分する点をPとする.ただし、a≧0,b≧0,0<x<1
であり 線分ABの長さは常に1とする.
b
(1) 点Pの座標およびy座標をaとt で表せ.
(2) 点Aが0≦a≦1の範囲で動くとき, 点Pはどのような曲線上を動くか.
(3) (2)で求めた曲線上の点Pにおける接線が、 直線AB に一致するとき,
aとの関係を求めよ.また, この関係を満たしながらtが0<t<1の範囲
で動くとき、 接点はどのような曲線上を動くか.
0
a
x
(名古屋市立大薬一中 / 後半省略)
アステロイドの性質 アステロイド ( 138472323=1:媒介変数表示はx=cos30, y=sin30) は, 長さ
1の線分がx軸,y軸上に両端点がある状態で動くときに通過する領域の境界にあらわれる.例題を解
くと,(2)が楕円,(3) 後半の曲線がアステロイドになり、両者は接する (接点は (3) 前半で求めたも
の傍注の図参照). 演習問題も同じ図になるが, AB の通過領域を求める計算をやってみよう.
解答量
(1) AB=1よりb=√1-² であるから, P (ta, (1-t)√1-α² )
(2) x=ta,y=(1-t) √1-² からαを消去すると,
t
a=², 1-a²=(
より 十 +
2² y²
-=1
t² (1-t)²
1-t
x²
22
(3) 楕円 +
=1上のP (ta, (1-t) √1-α²) における接線は,
t² (1-t)2
ta
(1-t)√1-a²
+2x+
(1-1)² y=1 すなわち x+1-02
-y=1である.
エ
y
一方,直線AB は +
-=1だから、 両者が一致するとき,
a √1-²
a
√1-a²
かつ
: a=√t
t
a
1-t √1-a²
a=√t のとき,P(x,y)=(tv/t, (1-t) 1-t) となるから,
x=t², y=(1-t) ²
2 3
tを消して, y=(1-x 37 ) 12/27
.. x3+yz=1
1-t
04 演習題 (解答は p.42)
xy平面において, 長さが1である線分ABが, A をx軸上に, B をy軸上に置いて, 動
けるところをすべて動くものとする.
(1) tを0≦t≦1なる定数とする. 線分AB を (1-t) :tに内分する点Pの軌跡を求
めよ.
(2) 線分AB (両端を含む) が通過する領域を(1) の結果を利用して求め,図示せよ.
(3) sを0<s<1 なる定数とする. 線分AB を (1-s): s に内分する点をQとしたと
( 日本医大 )
き,線分 AQ (両端を含む) が通過する領域を求め,図示せよ.
B
1-t
A
01-1
楕円の接線の公式.
←第2式からは 1-4²=1-t
(2) と(3) を重ねて描くと――
YA
P(+², (1-t))
1 x
(2) ファクシミリの原
理を使う.
(3) (1)と(2)を重ね
てみよう.
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