Question

ぱぱ

数学の質問です
この問題の⑴なんですが、この解法1、2共に、答えの最終段階のところで、なぜl(k)＝k^2/2−…と書けるのか、さっぱり分かりません
本当にわからなくて困ってます
教えてください…
お願いします

67 xy 平面上に3点A(1, 0), B(0. 1). C(2. 1) が与えられている. 点P は
線分 BA 上を, 点Qは線分 AC上を,同時にそれぞれPはBを出発してA
まで,QはAを出発してCまで, 同じ速さで進むものとする.
このとき,線分 PQ がおおう図形をFとする.
(1) 図形Fと直線×=k(0<k<1)との交わりである図形の長さ 1(k) を求めよ。
(2) 図形Fの面積を求めよ。
(3)図形Fを×軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ.
(山形大)

67 [解答)
類)
(1)」 条件から、, P(t, 1-t) とすると
x=k
よって,直線 PQ の方程式は
B
1
リ=(2t-1)(x-t)+1-t.
P
y=x-1
4Q
ここで,x=kとし, k を 0ハえ<1 で固定し
て,tを 0Stハえ の範囲で変化させたとき,
1-k
AF
1 t+1
A
0
t
2 x
y=f(t)=-2t+2kt-k+1
=-2(1-号)+学一ス+1
のとり得る値の範囲は
k
f(0)=1-kSyS
2
2
k?
1(k)=D-k+1-(1-k)=D%.
(答)
2
2°

第7章 積分法
59
y=(2t-1)(x-t)+1-t=-2t+2xt-x+1
--(-+ー+1号+1 no
2
2
2
2
2
…D
よって,直線 PQ は, つねに放物線 y=キース
x?
x+1 に接する。
2
にれは①から明らかである。
AT
-2
x
2
--x+1-(-2t"+2.xt-x+1)=2(t-)であるから,
2
点(2t, 2t°-2t+1) で接する.
また,tが 0<ts1 の範囲で変化するとき,
(日)
点P は線分 BA: y=1-x (0<x1) 上を,動く。
点Qは線分 AC: y=x-1 (1<x<2) 上を
よって,線分PQ の通過領域 F は前図の周を含む網目部分 F であるから, F
と直線 x=k (0<k<1) との交わりの図形の長さは
k?
(答)
(木)=(5一+1)-(1-)-
8/3
2°

数学 軌跡