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数学 高校生

102です書きこんでます

て、AC=a, AF 6, AH=とするとき、 おいて、 次の等式が成り立つことを示せ。 *(2) 3BH+2DF=2AG+3CE+2BC AB=d, AD=e, AE= を用いて表してみる。 れのベクトルをa, こで表す。 y,z), 6=(x, 1, -1) のとき, 2-1=0 が成り立つように, x, y, zの値を定めよ。 100 = (1,2,3)=(025) = (1,3, 1) のとき,次のベクトルを sa +to+uc の形に表せ。 (1)=(0,3,12) *(2) g=(-2,29) 1014点 0(0,0,0), A(0, 1, 2), B1, -1, 1), 2, 1, -1) について,次の ベクトルを成分表示せよ。 また、 その大きさを求めよ。 *(1) OA (2) OC *(3) AB (4) AC *(5) BC 102 座標空間に平行四辺形ABCD があり, A3, 4, 1), B(4, 2, 4), C (-1, 0, 2) であるとする。 頂点の座標を求めよ。 6. -4STEP数学Cベクトル AB=a, AD=1. ■E=" とすると _G=AB+BC+CG -b+c =-2a-+46 -2(1.-1. 2)-(2.-1.-2)+4(0, 2, 11 =(-2,2,-4)-(2,-1,-2)+(0.8, 4) =(-4. 11. 2) |-20_(246)=√(-4) +11 +2 =√141 99 246 23. y, z)(x, 1, -1) =(6-x. 2y-1.2+1) 6fc)-(a+b+c) = 24 F-CE-(-4)-(-a-b+c)=2a AG-BH=DF-CE H+2DF 3(-a+b+c)+2(a-b+c). =-a+b+5c + 3CE + 2BC =2(a+b+c)+3(-a-b+c)+25 = -a+6+5c 3BH+2DF =2AG+3CE +2BC a=21. 1,2)=(2, 2, 4) -a|=√2°+(-2)+4=2√6 0, 2, 1)=(0, 6, 3) VO2+62+3=3√5 -1,-1,2)=(-1, 1, -2) √(-1)²+1°+(-2)^=√6 240とすると よって ゆえに (6-x, 2y-1, 2z+1)=(0, 0, 0) 6x=0.2y1=0.2z+1=0 x=6.y=1/22-12/2 100 sa +to+uc =(1,2,3)+0.25)+(1,3,1) = (s+u, 2s+2 +3u, 3s + 5t+m) (1) p=sa+to+uc とおくと (0.3,12)= (s+w, 2s+2t+3u, 3s+5t+m) よって s+u= 0, 2s+2t+3u=3, 3s+5t+u=12 これを解いて したがって s=1,t=2, u=-1 p=a+2_c (2) q=sa+tb+uc とおくと (-2, 2, 9)=(s+u, 2s+2t+3u, 3s+51+u) よって |s+u=-2, 2s+2t+3u=2, 3s+5t+u=9 これを解いてs=-2,t=3,0 したがって q=-2a+3b -4(0.2.1)=(0,-8,-4) VO'+(-8)+(-4) =4v5 -1, 2)+(0, 2, 1) A (2) OC (2,1,-1) 1, 3) 1' +12 +32 = VII 2, 1)-(1, -1, 2)-A-TA 1,3, -1) (-1)+3°+(−1)=VIT 1,-1, 2)+30, 2, 1) 2,4)+(0,6,3) 4. 7) 23+4+7=√69 -30, 2. 1)+(2,-1,-2) 0.6.3)+ (2 -1, -2) (1-)+(6-)+9 A 101 (1) OA (0, 1, 2) - |OA| = √O2+12+2=√5 |OC|=√22+12+ (−1)²=√6 (3) AB (1-0, -1-1, 1-2)=(1, -2, -1) |AB|=√12+(-2)+(-1)²=√6 (4) AC=(2-0,11,12)=(2.0-3) AC (5)BCは同じように飛 ゆえに (-5.-2.-2) (x-3. y-4, 2-1)=(-5, -2, -2) x-3=-5, y-4-2, 2-1-2 よって x=-2, y=2, -1 これを解いて。 したがって、頂点の座標は(-2.2.1) 103 与えられた3点A, B, Cをもつ平行四 辺形は複数考えられることに注意する。 それぞれの場合で 四角形が平行四辺形にな る条件を考える。 条件を満たす平行四辺形は [1] 平行四辺形ABCD [2] 平行四辺形 ABDC 平行四辺形 ADBC の3つの場合が考えられる。 頂点の座標を (x, y, z) とする。 [1] 四角形 ABCD が平行四辺形であるための必 要十分条件は よって ゆえに AD = BC (x-3, y-0, z+4) =(4+2, 3-5, 2+1) x-3=6, y=-2, z+4=3 したがって x=9, y=-2,z=-1 SA -27 よって、はた一のとき小 をとる。 √導をと 105 +xb+ ye [2] 四角形 ABDC が平行四辺形であるための必 AB=CD 要十分条件は よって (-2-3, 5-0, -1+4) ゆえに したがって +=(x-4. y-3, z-2) 5=x-4,5=y-3.3=z-2 x=-1, y=8,z=5 (4) =(1,-1, -3)+x2.21)+y-1.1.0) [3] 四角形 ADBC が平行四辺形であるための必 AD=CB 要十分条件は よって (x-3, y-0, z+4) ゆえに したがって =(-2-4, 5-3.-1-2) x3=-6,y=2, z+4=-3 |x=-3, y=2, z=-7 [1]~[3] から, 頂点の座標は =(2x-y+1.2x-y-1. x-3) よって (9, -2, -1), (-1. 8, 5), (-3. 2, -7) 104 =a+b=(0, 1, 2)+(2. 4. 6) 58 =(2t,1+4z, 2+6t) 一番見ました (20+(1+4+2+64)。 IBC|=√1+2+(-2でしょうか。 102 四角形ABCD が平行四辺形であるための必 要十分条件はAD=BC である。 頂点の座標を(x, y, z) とすると AD=(x-3, y-4, 2-1) BC=(-1-4, 0-2. 2-4) =56t2+32 +550 22 3A-7 t+ \a+xb+ ye =(2x-y+1)+(2x-y-1)+(x-3)^ =(2x-y) +2.2x-y)+1. 2x2x)+1+(x-3) =2.2xy+(x-3)+2 2. la+b+ ye³ it 2x-y=0. x-3=0 STEP A・B、発展問題 のとき、すなわちょ=3. y=6のとき最小となる。 a + + ye120 であるから、このとき a+x+ycelも最小となる。 よって、 求めるxyの値は 106 平行六面体を ABFDCEHGとし、 ゆえに、は1=2のとき最小値をとる。 20であるから,このときも最小となる。 座標空間の原点を0と する。 x=3y=6 AB-(0-1, -4-1, 0-2) =(-1.-5,-2) AC=(-1-1, 1-1-2-2) =(-2.0.4) AD=(2-1, 3-1, 5-2) =(1,2,3) 四角形 ABEC, ABFD, ACGD, BEHFは平 四辺形であるから OE = OB+BE = OB+AC =(0, -4, 0)+(-2, 0, -4) =(-2,-4,-4) OF = OB+ BF = OB+AD =(0, -4, 0)+(1, 2, 3) =(1,-2, 3) OG=OC+CG=OC+AD =(-1,1,-2)+(1,2,3) =(0, 3, 1) OH = OF + FH = OF +AC =(1, -2, 3)+(-2, 0, -4 =(-1,-2,-1)

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物理 高校生

高校物理の質問です。 (ア)〜(エ)および(カ)〜(コ)の解き方を教えてください。途中式など書いていただけると大変助かります。 一部でも構いません。

以下の文章中の(ア)~(エ)および(カ)~(コ)に適切な式を記入しなさい。(オ)には文章中の指示にしたがって適切 なグラフを描きなさい。ただし、解答にんを用いてはならない。 なお、文章中の角度の単位はラジアンである。 図1のように、x ≥0の領域において一様な磁束密度 (大きさB)の磁場がかかっている。 磁場の向きは、 図1の右図 において、紙面の手前から奥に向かう方向である。x < 0の領域には磁場はかかっていない。半径aで中心角”の扇形 コイル OHKLが磁場と垂直なx-y平面内にあり、原点を中心としてx-y平面内でなめらかに回転できる。 0 と Lは、図1の左図の端子P, Qをとおして、電気抵抗 R の抵抗器、電気容量 C のコンデンサー、およびスイッチ1, S2からなる図2の回路の端子P,Qと常につながっている。 OLは十分に短く、 KL の長さをaとみなし、扇形コイル を貫く磁束は、半径がaで中心角がこの扇形の面積を貫く磁束と考える。 導線の太さや質量および電気抵抗、扇形コイ ル以外の部分で生じる誘導起電力、自己誘導、および空気抵抗の効果は無視する。また、扇形コイルの変形は考えな い。 (1) スイッチS」を閉じ、S2を開いた状態で、点 H に外力を加えることで、扇形コイルを一定の角速度w (0)で図1 のように反時計回りに回転させた。時刻t = 0において点 H はx-y平面内の座標 (0,a)の位置にあった。微小時間経 過後に、扇形コイルを貫く磁束が減少し、端子 P に対する端子Q の電位は(ア)となった。このとき扇形コイルは、 K→Lの方向を正として=(ア)×(イ)の電流が流れ、導線 KL が磁場から受ける力の大きさは(ウ)であった。そ の後、時刻t=(エ)で、はじめて扇形コイルに流れる電流が0となった。t = 0から扇形コイルが一回転するt=2まで の時間の、K→L 方向を正とした電流の時間変化を実線で描くと(オ)となる。 扇形コイルが一回転するまでに抵抗器 で生じたジュール熱は (カ) であった。扇形コイルに加えた外力がした仕事が抵抗器で発生したジュール熱と等しい ので、時刻 (0 <t < t) において点Hに加えた外力は (キ) であることがわかる。 ただし、 外力は常に扇形コイルの円 弧の接線方向にかけるものとする。 (2) スイッチ2を閉じ、 S を開いた状態で、 点Hに外力を加えることで、 扇形コイルを一定の角速度w(0) で図1の ように反時計回りに回転させた。時刻t=0において点Hはx-y平面内の座標 (0,a)の位置にあり、このときコンデン サーには電荷が蓄えられていなかった。 微小時間経過後に扇形コイルには電流が流れ、コンデンサーは充電されはじ めた。その後、時刻t = (エ)までにコンデンサーは十分に充電され、回路を流れる電流は0となった。このときコンデ ンサーに蓄えられた電気量は(ク)であった。時刻から2tの間に、 コンデンサーは放電し蓄えられた電気量は 0 と なった。時刻から2ちの間に抵抗器で発生したジュール熱(ケ)であった。また、時刻から2tの間に回路に流 れる、時間とともに変化する電流の大きさをI とおく。このとき、コンデンサーに蓄えられている、時間とともに変化 する電気量の大きさは(コ)となる。 H B(IIの領域のみ) W PO I KT S₁ R Sa Q -OP 扇形コイルを真上から見た図 図1 図2

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物理 高校生

高校物理の質問です。⑤〜⑩の解き方を教えてください。一部でも構いません。 ⑤CV/n ⑥CkV^2/n^2 ⑦CV^2/n^2×n(n+1)/2 ⑧V/n ⑨TV^2/nR ⑩CV^2/2 よろしくお願いいたします。

図1のような電気容量Cのコンデンサー、抵抗値R の抵抗、時刻とと もに変化する電圧uの電源からなる回路を考える。 電源電圧の最大値 をV(0) とする。 t<0ではv=0であり、コンデンサーに電荷はない ものとする。 (1)t≧0v=V とすると、 横軸をt、縦軸をコンデンサーの極板間の 電位差としたグラフは図Aの (1) であり、縦軸を抵抗に加わる電圧と したグラフは(2)である。 R 2V V 3 0' 1 T 2T 3T P2 (2)次に20での電圧uを一定の時間幅Tで階段状に変化させる。 ある正の整数nによって整数kの範囲を k= 1,2, ...,n とし、 (k-1)T≤t < kT では kV U== n とし、tnではv=V とする。 ただし、Tは十分大きく、電圧を上げる各時刻t=kTの直前では回路に電流は流れな くなるものとする。 n=3の場合、 図2のようにvは変化する。 横軸をt、 縦軸をコンデンサーの極板間の電位差としたグラフは図Bの (③) であり、 縦軸を抵抗に加わる電圧としたグラフは (④)である。 (ト) (イ) (7) 以下ではn > 3とする。 コンデンサーに蓄えられる電気量は (k-1) TSt< KTの間に (⑤)だけ増加するので、この間に電源が行う仕事は(⑥)である。 0≤t≤nTの間に電源の行う仕事Wは、和の公式k=n(n+1)を用 (エ) (オ) MA (カ いるとW= (⑦) と求められる。 0≤t≤nTの間、抵抗に加わる電圧の最大 値は (⑧) であり、 常にこの最大電圧が抵抗に加わったと仮定すると、 ジュ ール熱で失われるエネルギーE, は (⑨)である。 以上により、t = nTでコン デンサーが蓄えている静電エネルギーUは、W-En<Un<Wを満たす。 n を大きくする極限でEmは0となり、この極 では(1)となる。 AB

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