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等差数列(a。), (6,} の一般項がそれぞれ a,ー4n-3, b,=7n-5であるとき、
の2つの数列に共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列に
Oo000
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重要例題93 2つの等差数列の共通項
100
4(公差)- (nの
の一般項を求めよ。
指針> a=1+4(n-1)であるから, 数列 {an} の初項は1, 公差は4,
b。-2+7(n-1)であるから, 数列 (b,} の初項は2, 公差は7 である。
具体的に項を書き出してみると
+4は7回
+4 +4 +4 +4 +4 +4 +4
くくく
44, 51, 58,
37,
{an}:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 6,
(6月}: 2, 9
16,
23,
30,
+7
+7
+7
2+
+7は4回
仁 公差4, 7の最小公倍数
よって {cn}: 9, 37, 65, …… となり, これは初項9, 公差28 の等差数列である。
このような書き上げによって考える方法もあるが, 条件を満たす数が簡単に見つからない
年4と 2 92率降詳1鮮 ( 4丁量のO>多宗)
A) の解を求める方針で解いてみよう。
共通に含まれる数が, 数列 {an}の第1項, 数列{bn} の第 m項であるとすると
よって, 1, m は方程式 4/-3=7m-5 すなわち 4/-7m=-2 の整数解であるから キ=
この不定方程式を解く。
解として, 例えば, 1=(kの式) が得られたら, これを a=4l-3の1に代入すればよい
ただし, kの値の範囲に注意が必要である (右ページの検討参照)。
=D
解答
4/-337m-5
4/-7m=-2
1=-4, m=-2は①の整数解の1つであるから
ai=Dbm とすると
よって
6
1=3, m=2とした場合は
検討 参照。
4(7+4)3D7(m+2)
4と7は互いに素であるから, kを整数として
ゆえに
1+4=7k, m+2=4k
すなわち
1=7k-4, m=4k-2
と表される。
ここで, 1, m は自然数であるから, 7k-421かつ 4k-221
より, kは自然数である。
よって, 数列 {cn}の第k項は, 数列{an} の第1項すなわち第
4んはんこ号かつにこと
満たす整数であるから, 目
然数である。
(7k-4)項であり
4(7k-4)-3328k-19
求める一般項は, kをnにおき換えて
数列 {b,}の第m項すなわ
ち第(4k-2)項としてもよ
Cn=28n-19
