例題 52 極限と係数決定 [2]
次の等式が成り立つように,定数 α, bの値を定めよ。
lim{vx2-2-(ax+b)}=0
x→∞
思考プロセス
D
★★☆
候補を絞り込む
[a > 0 のとき
→8
∞∞の不定形
a = 0 のとき
→b
与えられた等式を
満たすのは、
この場合のみ。
→-
la < 0 のとき
a>0で考える。
8-6
8+88(代)
Action» 無理関数を含む不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ
解 a≧0 のとき,与えられた極限は∞に発散するから a>0 lim√x2-2 =8,
√x2-2-(ax+b)
x→∞
a < 0 のとき
=
{vx²-2-(ax+b)}{√x-2+(ax+b)}
√x-2+(ax+b)
(1-2)x2-2abx-(2+62)
√x2-2+(ax+b)
(1-a²)x-2ab 2+62
b
x 010
2
+a+
x²
x
よってx→∞のとき,これが収束する条件は
1-a² = 0
a>0より α = 1であり,このときの極限値は
TAMA
lim
X11
2 +62
-
-26
2
x2
lim{-(ax +b)}=8
x→∞
a = 0 のとき
lim{-(ax+b)} = -b
X11
よって, a≧0 のとき
lim{√x'-2-(ax +6)}=
X180
分子を有理化する。
00
x→∞より,x>0 と考
えて、分母分子を x で
割る。
分母のみの極限値は
lim
X11
=1+α
-26
2
1-
x2
tat
x
b
2
= -b
x
であるが,a>0より 0
にならない。
ゆえに
b=0
x
2 + 1 +
したがって a=1,6=0
