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重要 例題 127 分数形の漸化式 (1) 4/2401/26
で定められる数列 {an}がある。
a=1, an+1=
an-9
an-5
(1) すべての自然数nに対してαキ3であることを示せ。
(2) bn=
解答
(1) ある自然数nについて an+1=3 とすると、条件式から
an-9=3(an-5)
ゆえに
an=3
1
an-3
指針 分数形の漸化式である。 おき換えにより, 等差数列の問題に帰着する。
(1) 背理法 による。 ある自然数nについて an+1=3であると仮定し, 矛盾を導く。
(2) an bm で表して条件の式に代入してもよいが, ここではます an+1-3を計算し
の逆数をとるとらく。
よって
an+1=an=an-1=......=a1=3
これは条件 α = 1 に反する。
ゆえに, an+1=3を満たす自然数nはない。
また
よって
ゆえに
a₁ +3
したがって,すべての自然数nに対して an =3である。
(2)
an-9
2(an-3)
an+1-3
-3から
an+1-3=-
an-5
an-5
(1) より an =3であるから、 両辺の逆数をとると
5
また
とおくとき, bn+1 を bn で表せ。 また,一般項an
したがって
1
an+1-3
1
an+1-3
bn+1=bn
b1=
bn=
1
a₁-3
ニー
2
2
2
an
An
+ 1
よって,数列{bn} は初項 - 12 公差 1/12 の等差数列で
2
1
bn
を計算すると必ず分子にの参照が現れる
1
n
+ (n − 1). ( - 1²/²) = - 12/2
2
an-3
am3 =mとおくと、の
an-
2
=3-
n
1
an=3+
①よりan=3+ion
を求めよ。
[参考]
x-5
x²-6x+9=0を解くと
x=3 (重解)
よって, bn=- 1
an-g
an-5
重要
数列
-3
an-5
an-3
=
(2)
指針
an-9-3(an-5)
an-5
I
=1-
(an-3)-2
an-3
2
an
bn+1-bn=-
bn=b1+(n-1
