Question

タイキ

漸化式の問題です。
考えてもなかなか答えが導き出せません。
解答解説をよろしくお願いしたいです！😭🙏

【1】 次の式で定まる数列{an}の一般項を求めよ.
a₁₁-2a₂+2n+1=0 (n=1, 2, 3, …………….)
(1) a₁ = 6,
1
3
a₁ =
¹+2n+
a₂
n
(2) a₁ = 4₁ª₂+1=6a₁ +2
a₁
4 5
(n=1, 2, 3, ---...)
6
4
7 8

漸化式 数学2b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

記述における⇔大事だよね!

(1)漸化式から、an+2-2an+1+2(n+1)+1＝0これと与えらた漸化式を引いて(an+2-an+1)-2(an+1-an)+2＝0ー① ここで、an+1-an＝bnとおくと、①より、
bn+1＝2bn-2 ∴bn+1-2＝2(bn-2) よって、数列(bn-2)は、初項b1-2＝a2-a1-2＝9-6-2＝1、公比2の等比数列であるので、bn-2＝2^n-1 ∴bn＝2^n-1+2
ここで、数列bnは、数列anの階差数列であるから、n≧2のとき、an＝a1+∑(k＝1〜(n-1))bk＝6+2^n-1-1+2(n-1)＝2^n-1+2n+3 これは、n＝1のときも成り立つ。∴an＝2^n-1+2n+3
(2)a1＝4＞0であり、漸化式から、全ての自然数nにおいてan≠0となる。よって、与えられた漸化式の両辺の逆数をとって、1/an+1＝6an+2/an
∴Cn+1＝2Cn+6(1/an＝Cnとおいた) この式を変形して、Cn+1+6＝2(Cn+6) よって、数列(Cn+6)は、初項C1+6＝1/a1+6＝25/4、公比2の等比数列であるので、Cn＝(25/4)×2^n-1-6したがって、an＝1/Cnであるので、an＝1/(25/4)×2^n-1-6＝ 4/25×2^n-1-24
夜中の4時に解いたので間違っているかもしれないから、確認してね〜

タイキ

本当にありがとうございます！
理解することが出来ました😂😂😂🙏🙏🙏

記述における⇔大事だよね!

それはよかった〜✨
この問題の漸化式の形は頻出だから、よく復習して忘れないようにしてね〜