6), C(-2, 7)を頂点とする△ABCは直角二ち
00
2), C(a, b)について, △ABC が正三角形であ
喫煙では、辺の長さ(または定長さの2種)を
れか
② 三平方の定理を満たすかどう
れぞれ求め, 三平方の定理を満たすことを示す。
るための条件は
A”として扱い, α,
AB=BC=CA
bの連立方程式を導く。
平方の定理を (辺の長さ)で判断
42A(x,
C(-2,7)
5
5√√2
B (5,6)
B(22)に対
AB2=x2
解答
基本 74 座標を利用した証明 (1)
(1) △ABCの重心をGとする。 このとき, 等式
①①①①①
AB'+BC2+CA2=3(GA2+GB2+GC") が成り立つことを証明せよ。
(2)△ABCにおいて,辺BC を1:2に内分する点をDとする。 このとき,等
式2AB2+AC2=3AD+6BD2 が成り立つことを証明せよ。
指針
基本73 基本87\
座標を利用すると、 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき
座標軸をどこにとるか, 与えられた図形を座標を用いてどう表すか
がポイントになる。 そこで後の計算がらくになるようにするため, 問題の点がなるべ
<多く座標軸上にくるように0が多くなるようにとる。 ...... ★
(1)はA(3a,3b), B(-c, 0),C(c, 0) とすると,重心の性質から G(a, b)
(2)はA(a,b), B(-c, 0),C(2c, 0)
CHART 座標の工夫 1 0 を多く 2 対称に点をとる
(1) 直線 BC をx軸に, 辺BC の垂直二等分線をy軸にと
ると, 線分 BC の中点は原点0になる。 A (3a, 36),
B(-c, 0),C(c, 0) とすると, Gは重心であるから
G(a, b) と表される。
よって
AB2+BC+CA2
<指針」 _...... ★ の方針。
123
0 が多くなるように座標
軸を設定するだけでなく,
A(3a, 36) とすること
で、重心Gの座標を分
数を使わずに表せる。
3章
1 直線上の点、平面上の点
トリ,2) (16.7)
125
基本
(2)(4.0)(0.2) (a,b)
A+ C = 113 BC
(0-4)²+(6-0) (a
alz_8
A(1,3)
92-80116
単に「直角二
=(-c-3a)+962+4c2+ (3a-c)'+962
(1)
A(3a, 3b)
条件は
B2=BC2=CA2
=(4-α)2+(0-b)2
.... ①
形」だけでは不
どの角が直
はどの辺が
......
明記する。
=3(6α²+662+2c2 ...... ①
GA2+ GB2+ GC2
=(3a-a)+(36-b)'+(-c-a)'+b2+(c-a)2+b2
=6a²+6b2+2c2
(G (a,b)
②
B
-8α+46
①② から
AB2+BC2+CA2=3(GA'+GB2+GC2)
(-c,0) O
(c, 0) x
4-a)²+(0-6)²
(2)
(2)
B(0,2)
(2) 直線 BC をx軸に, 点Dを通り直線 BC に垂直な直
線をy軸にとると, 点Dは原点になり,
A (a, b),
-3)2=20
B(-c, 0), C(2c, 0) と表すことができる。
