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(2)放物線を上下に動かし,(1)の結果も利用して条件を満たすaの値の範囲を見極める。
hoo
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重要 例題102 放物線と円の共有点
放物線y=x+aと円x+y°=9 について, 次のものを求めよ。
(1) この放物線と円が接するとき,定数aの値
(2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲
00
別解
ここで、
ソ=-
また,x?
基本%
指針> 放物線と円の共有点についても, これまで学習した方針
共有点→実数解 接点→重解
で考えればよい。
この問題では,xを消去して, yの2次方程式(y-a)+y?=9 の実数
解,重解を考える。放物線の頂点はy軸上にあることにも注意。
(1) 放物線と円が接する とは, 円と放物線が共通の接線をもつこと
である。この問題では,右の図のように, 2点で接する場合と1点
で接する場合がある。
定まる。
1)放物
1点で
接する
[]の
2点で接する
[2]の
しただ
(2) 放集
の範目
解答
Axを消去すると, yの2次
方程式が導かれる。
(1) y=x°+aから
これをx°+y°=9に代入して
y+y-a-9=0
ここで,x°+y?=9から
[1] 放物線と円が2点で接
する場合
2次方程式Oは② の範囲
にある重解をもつ。
よって,① の判別式をD
x=y-a
(yーa)+y?=9
よっ
よって
なお,
x=9-y°20
ゆえに
-3Sy<3)…
の
37
aミー
4
a=-3
a=3
よ
y
3
3
3
-3
-3
3
-3
0
3
X
とすると
D=0
D=1°-4-1-(-aー9)
37
4
=4a+37
であるから
4a+37=0 すなわち
O037
円
a=ー
このとき, ①の解は y=-
1
となり,②を満たす。
4
0
2
(2次方程式
py?+qy+r=0 の重解は
こ-[2] 放物線と円が1点で接する場合
ゆえに
満れてい2e6
図から,点(0, 3), (0, -3) で接する場合で
あるのか?
のグラ
以上から,求めるaの値は
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは, 右の図から, 放物
ソ=ー
2p
頂点のy座標に注目。
a=±3
d)=
a=ー
土3
) 2
37
線の頂点(0, a)が, 点(0, -4)から点 (0, -3)を結ぶ線
y
標力
分上(端点を除く)にあるときである。
7。
TOT
3
2)
2
37
<a<-3
したがって
0
3
なる
x
~3-
a
37
S
の
