数Bの数学的帰納法の問題です！ 線をひいてる部分の計算ってどうなってるんですか？直前のAの左辺は〜からの式を等差数列の和で計算してるんでしょうか？

90 証明すべき等式を (A) とする。 (1) [1] n=1のとき 高 左辺 = 1, 右辺 =1·(2.1-1)=1 よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち 1 + 5 + 9 + ...... +(4k-3)=k(2k-1) が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの (A) の左辺は 1+5+9+......+(4k-3)+{4(k+1)−3} =k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1 n=k+1のときの(A) の右辺は (k+1){2(k+1)-1} =(k+1)(2k+1)=2k2+3k+1 よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて (A) が 成り立つ。

数学的帰納法についてです。 この問題はなぜ両辺の差を考えないといけないですか？ あと赤矢印の式の変換が分からないです。 教えてください。

5 Link 考察 応用 例題 6 nを4以上の自然数とするとき、 次の不等式を証明せよ。 2">3n 考え方 n≧4 であるから、次のことを示す。 [1] n=4 のとき, 不等式が成り立つ。 [2] k≧4 として, n=kのときの不等式 23k が成り立つと仮定 すると, 不等式 2+1>3(k+1) が成り立つ。 証明 この不等式を (A) とする。 [1] n=4のとき 左辺 = 24=16, 右辺 = 3.4 12 よって, n=4 のとき, (A) が成り立つ。 [2] k≧4 として, n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち 2k>3k が成り立つと仮定する。 n=k+1 のときの(A) の両辺の差を考えると 2k+1-3(k+1)=2.2-(3k+3) > 2･3k-(3k+3)- =3(k-1)>0 2k+1 >3(k+1) すなわち 列 2k3k より k≧4 より k-1>0 よって, n=k+1 のときも (A) が成り立つ。 [1], [2] から,4以上のすべての自然数nについて (A)が成り 立つ。 nを3以上の自然数とするとき, 次の不等式を証明せよ。 2">2n+1 終

92の⑵計算の部分で場合分け二つ目の、7行目、2k➕Iはどこからでてきたんですか あと計算の9行目から10行目の式変形もわかりません。

解答編 -207 -46 に代入して +4 (0+1-20) 5a=0 anti-an) Say=a+b1=8 kのとき①が成り立つ, すなわち 1.3+2・5+3・7++2k+1) +kk+1X4k+5) [2] n=kのとき ①が成り立つ。 すなわち 1+2.1/23+ +... + =2k- +4 数学的帰納法 初項 8. 公比5の等 .5"-1 項が 8.5"-1 であるか (5-1-1) 40 5-1 =(k+14k²+ k+1)(4k2 +17k+18) ③ 暮られるから 考えると、②から 1・3+2.5 +3.7 ++k2k+1) +(k+1){2(k+1)+1) kk+1X4k+5)+(k+1X2(k+1)+1) =/(k+1)(4k+5)+6(2 定する。 n=k+1 のとき, ① の左辺につ ...... 2 数学的帰納法 第2節 数学的帰納法 139 と仮定する。 "=k+1のとき. ①の左辺につ いて考えると, ②から 明するには、次の2つのことを示す。 14-1 1+2+ ・+・・・+人 +(k+1) =2(k-2 3\4 +4+ (k+1/ 7314 = (3k-3) 73 +4=2(k-1) +4 =(k+1xk+2X4k+9) (k+1)((k+1)+1}{4(k+1)+5} =(k+1)((k+1) よって、n= k + 1 のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から, すべての自然数nについて ① は 成り立つ。 (2) (n+1Xn+2Xn+3) (2n) 6.5"-1 -1) (10"-1) ■につ ...... D 4 =2"-1-3-5(2n-1) ...... D よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 とする。 [1] n=1のとき 左辺 =1+1=2, 右辺 =21.1=2 1 [2]から すべての自然数nについて①は 成り立つ。 「5は3の倍数である」 を (A)とする。 n3+5n=13+5・1=6 [1] n=1のとき よって, n=1のとき, (A) は成り立つ。 [2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち +5kは3の倍数であると仮定すると, ある 整数を用いて次のように表される。 +k³+5k=3m n=k+1のときを考えると (k+1)+5(k+1) +12= =(k+5k)+3(k+k+2) =3m+30k2+k+2) =3(m+k2+k+2) m+k+k+2は整数であるから, (k+1)+5(k+1) は3の倍数である。 よって, n=1のとき、 ① は成り立つ。 [S] [2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち (k+1)k+2xk+3)........(2k) =2.1.3.5 (2k-1) ... 2 と仮定する。 n=k+1のとき, ① の左辺について考えると, ②から 2-2-1+(1+-+ (k+2)(k+3)·······(2k) (2k+1)(2k+2) =(k+2)k+3)•••••••• (2k) (2k+1) ・2(k+1) =2(k+1)(k+2)(k+3)........ (2k2k+1) =2+1.1.3.5 (2k-1)2k+1) よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は 成り立つ。 数学B STEP A・B、発展問題 (8) 1 よって, n=k+1のときにも(A) は成り立つ。 (n+1)3 93 (1) 12+2+32++n2< 3 [1], [2] から, すべての自然数nについて (A) は 成り立つ。 とする。 [1] n=1のとき +3・ 92 (1) 1+2+3()++(2) 238 左辺 = 1, 2/ 右辺 =3=3 [S] とする。 =2(-2) +4 ...... ① [1] "=1のとき 左辺1,右辺=2・(-1)・12/3+4=1 よって、n=1のとき、 ①は成り立つ。 よって, n=1のとき, ①は成り立つ。 12 + 2° +32 + ...... +k <- [2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち (k+1)³ ある 3 ..... ② と仮定する。 [1] n=1のときPが成り立つ。 ある特定の自然数以上のすべての自然数nについて、Pが成り立つことを証明す [2] n=kのときPが成り立つと仮定すると, n=k+1のときにもPが成り立つ。 るには, [1]でn=m, [2]でとする。 STEPA □ 90 は自然数とする。 数学的帰納法によって、 次の等式を証明せよ。 =1/12 (10) *(1) 1+10+ 10+······ +10^-'=(10^-1)- 9 (2)1+2+37+…+n(n+1)=1/gn(n+1)(4n+5) 数 列 *91 n は自然数とする。 +5 は3の倍数であることを、 数学的帰納法によって 証明せよ。 A STEPB 92 n は自然数とする。 数学的帰納法によって、 次の等式を証明せよ。 1+2+3(2)²- ++n 3 =2(n-2 +4 - (2)(n+1)(n+2)(n+3)･･････(2z)=2"-1・3・5(2n-) 2:4-6 93 数学的帰納法によって,次の不等式を証明せよ。 *(1) nが自然数のとき 12+22+3²++n² <= (n+1)3 3 *(2) が4以上の自然数のとき 2">3n+1 (3) h>0のとき が3以上の自然数, (1+h)">l+nh 自然数nに関する事柄Pが,すべての自然数nについて成り立つことを数学的帰納法で証 94(1) は自然数とする。 562-1は31で割り切れることを,数学的 法によって証明せよ。 (2)は2以上の自然数とする。 2"-7n-1 は49で割り切れること 学的帰納法によって証明せよ。 k+1XT/ ktlのときにも成り立つ。

赤線引いているところなんでこんな式になるか教えてください

1263 次の不等式が成り立つことを, 数学的帰納法によって証明せよ。 *1)が自然数のとき 12+22+3+ *(2) nが3以上の自然数のとき 3">5n+1 (n+1)³ 3 a+bn a+b\n (3)nが自然数, α > 0, 6 > 0 のとき M 2 2

書き込み多くて汚くて申し訳ないです 四角で囲ってるところどうやって計算したらそんな式出てきたんでしょうか 2•2のk乗消えなく無いですか

第2節 | 数学的帰納法 45 45 C 数学的帰納法による不等式の証明 応用 察 例題 不等式 2">2n+1 を 数学的帰納 は3以上の自然数とする。 法によって証明せよ。 解説 n≧3であるから,次のことを示せばよい。 16 5 0 [1] n=3のとき, 不等式が成り立つ。 [2] k≧3として, n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると, n=k+1のときにも不等式が成り立つ。 証明 この不等式を ① とする。 第1章 数列 ②から [1] n=3のとき 左辺 =23=8, 右辺 =2・3+1=7 よって, n=3のとき,①は成り立つ。 [2] k≧3として, n=kのとき ①が成り立つ, すなわち B 2k>2k+1 ② と仮定する。 n =k+1のとき ①の両辺の差を考えると 2k+1 {2(k+1)+1=2.2 (2k+3) 2.2k-(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3) ②をう つまり 右は A 2 =2k-1> ●B×2 ← よって 2k+1_{2(k+1)+1}> 0 3以上の から10より 大きい すなわち 2k+1>2(k+1)+1 よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 大 何を仕入 しても より [1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについて ① は成 り立つ。 終 4 > 0 で, n は自然数とする。 不等式(1+α)"≧1+na を 数学

オレンジの線を引いている以降のところが全くわかりません すなわち〜からです 四角で囲っていることろはなんですか？ 1/2(k+1)(k+2)で終わったらだめなんですか？

自然数nに関する事柄Pが, すべての自然数nについて成り立つ ことを数学的帰納法で証明するには、次の2つのことを示す。 [1] n=1のときPが成り立つ。 5 [2] n=kのときPが成り立つと仮定すると, n=k+1のときにもPが成り立つ。 15ページで学んだ自然数の和の公式を, 数学的帰納法で証明してみよう。 例題 数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。 13 1+2+3+......+ n = n(n+1) 2 10 証明 この等式を ① とする。 ール [1] n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 =1/11(1+1)=1 よって, n=1のとき,①は成り立つ。 [2] =kのとき ①が成り立つ,すなわち 第1章 数列 1+2+3+....+k=1/21k(k+1) ② 15 と仮定する。n=k+1のとき, ① の左辺について考えると, ②から hhyth 1+2+3+....+k+(k+1)=1k(k+1)+(k+1) (1 んなんなっている __1 = (k+1)(k+2) 2 すなわち 20 1+2+3+…+k+(k+1)=1/2(k+1){(k+1)+1} よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。終

最後の右辺-左辺の下の計算が合いません。 教えてください。

3 漸化式と数学的帰納法 (577) B1-10 例題 B1.59 数学的帰納法 (2) 不等式の証明 • **** が2以上の自然数のとき, 1+ 1 1 + 22 + つことを数学的帰納法で証明せよ。 32 <2 n <2が成り立 n1 第8 考え方 2 以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい。 (I) n=2のとき, 不等式が成り立つことを示す. Ikk≧2) のとき,不等式が成り立つと仮定し、これを用いて, n=k+1 のと きも成り立つことを示す. 1 1 1+2+32 (I) n=2のとき, + ......① とおく. n 1_5 (左辺) =1+- 3 (右辺)2 22 4' 2 2 より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき①は成り立つ. (II)=k(k≧2) のとき, ①が成り立つと仮定すると, 1 =k+1 のとき, は2以上の自然数 1+2+32 + + <2- k² .(*) k 1 10 <2- 何を示すかを明記す (k+1)2 k+1 1 11 1+ + + + + 22 32 12 k² が成り立つことを示す. (右辺) (左辺) る. 分子それぞ (右辺) (左辺) > 0 を示せばよい。 1 1 1 1 1 2 1+ + + + k+1 22 32 k² (k+1)2] 1 >2- 2 + k+1 k (k+1)2] (*) の仮定を利用す るが,不等号の向き に注意する. 1 ならば, >0 k(k+1)- (I), (II)より2以上のすべての自然数nについて ①は成り したがって、(右辺) (左辺) > 0 となり, n=k+1の ときも①は成り立つ。 んは2以上の自然数 だから, k(k+1) よって、 立つ、 k(k+1)^- ocus 数学的帰納法の証明 (スタート), 何を示すべきか (ゴール) を明確に

なんで数字増えてるんですか

246. 赤++ +... + √EAT > √2n+1-1 (証)数学的帰納法で示す i) n=1のとき(左辺)=1 (右辺)=-1-1 よって、(左辺)>(右辺)が成り立つ ii)m=実のとき、赤+++劇>2F-1が成り立つと仮定する n=Rtlaとき (左辺)-(右辺)=赤+++++-(263-1) >√2k+1-1 + √ √2643 + = ・V2k+1-2k+3+ 1/2/071 2k+1~~(2k+1)(2)+1. √26+1 1 2k+2- 14k+8kt3 √2k+1 2(k+1) 1 14ktk+4 > √2k+1 2(k+1)-2√(k+1 √2kt1 よって、(左辺)>(右辺)が成り立つ =0 以上より、すべての自然数nについて、成り立つ

左が帰納法による等式の証明、右が帰納法による不等式の証明です。 数学的帰納法における数列の証明において、両辺に〜を加えるという作業と、kをk+1にして解く作業はどう違うのでしょうか？🙇🏻‍♀️

to 1・1+2・2+3・22+......+n2"-1 =(n-1)2"+1 はと ...... ① が成り立つことを数学的帰納法により示す. 〔I〕n=1のとき, ①の左辺と右辺はともに1であるから, ①が成り立つ. [II] n=kのとき, ①が成り立つと仮定する. このとき, 1・1+2・2+3・22+•••••• +k.2k-1 最大 =(k-1)2+1 の両辺に, (k+1) ・2を加えると, 2<,2 1・1+2・2+3・2°+…+h・2-1+(k+1) ・2 =(k-1)・2+1+(k+1) ・2k =2k2k+1 =k2k+1+1 ={(k+1)-1}.2k+1+1 となり, n=k+1のときも①が成り立つ. よって, [I], [II] より すべての自 然数nについて, ①が成り立つ. NAS) AS-(1-AS) A·CT S∙I

解説の13行目に急に出てきたこの2k(2k+1)は何でしょうか？教えてください

264 数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。 (n+1)(n+2)(n+3)........ (2n) = 2.1.3.5 (2n-1) [1]n=1のとき、 (左辺)=1+1=2 (右辺)=21=2 よって①は成り立つ