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力学
17
トク 等質量の弾性衝突では、 速度が入れ替わる。
78の答えが出たら, M=mとしてみると分
かる。 たとえば, Qがはじめ静止していると,
衝突してきたPが止まり, Q が で動き出
すことになる。
79 なめらかな床上に, 質量Mの板が, ばね定数k
一のばねで結ばれて置かれている。 質量m (<M/2)
の物体が速さひ で板に当たるとき, ばねの縮みの
最大値はいくらか。 衝突は瞬間的とする。
(1)e=0 (2) e=-
の場合について求めよ。
保存則の威力
M.
m
Vo
0
000000
運動量保存則 御
←
できない
非殊性 力学的エネルギー弾性定、分裂(火薬なし動
分裂(焼あり)
(1)Pがばねを押し縮めると同時に,Qは
ばねに押されて動き出す。 ばねが最も縮
んだときとは,Qから見て接近してくる
Pが一瞬静止したときでもある。
止まった
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相対速度 0
つまり、相対速度が0となるときだし
したがって,このときQの速度もである。
運動量保存則よりmv=mv+Mu
Qから見た
Pの運動
P.Qの速度は同じ
m
m+M"
トク 2物体が動いているとき, “最も... は相対速度に着目
りま
(2) 力学的エネルギー保存則より
一体となって、ピニト
1
2'
mv,² = 1½ mv² + 1 Mv² + 1½ kl²
つきゃく
力学的エネルギー保存則, 運動量保存則とも運動方程式に立脚している。
しかし,保存則は運動方程式を超えた力を秘めている。たとえば,滑らかな
曲面をすべり降りたときの物体の速さや, 衝突の問題では運動方程式を用い
ても事実上解けない。ただ,保存則には適用条件があることは常に意識して
おかねばならない。
摩擦抵抗なし(保存力以外の力の仕事=0)力学的エネルギー保存則
運動量保存則
衝突・分裂(物体系について外力= 0)
力学的エネルギー保存則は仕事を, 運動量保存則は力を条件にしていると
いう違いがある。両者はまったく独立な法則であるが,両立することもあり
連立的に解くタイプは概して難問となる。が,パターンを心得ていれば, 取
扱いはむしろ一本調子だ。 猛犬を手なずけて忠犬としてしまおう。
EX 滑らかな水平面上に質量Mの球Q がばね定
数々のばねを付けられた状態で置かれている。
P
Vo
m
M
mM
= (m+M)
ちょっとここでQ上の人に保存則まで用いさせてはいけない。 保存則や
運動方程式は静止系(あるいは慣性系)で用いるべきもの。
ただし,次章で扱う慣性力の効果まで考慮すれば, 加速度系で用
いることもできる。
(3)Qの速度をUとすると
運動量保存則より
mv=mu+MU ......
①
ばねは自然長に戻っているから, 力学的エネルギー保存則より
Uを消去して整理すると
mv,² = 1 mu² + MU²
......2
(m+M)u2-2mvou +(m-M)vo²=0
u=m+M
Vo
m+M'
2次方程式の解の公式より
u=v とすると, ①よりU=0 となって不適 (ばねに押された Qは右へ動
いているはず)
:.u=-
m-M
m+Mv
左から質量mの球Pが速度v で進んできた。
(1) ばねが最も縮んだときのPの速度vを求めよ。
(2) ばねの縮みの最大値を求めよ。
(3) やがてP はばねから離れた。 Pの速度uを求めよ。
High (3)はP, Q がばねを介して緩やかな衝突をした後と見てもよい。エネル
ギーを失わない弾性衝突だから, e=1の式 u-U=(vo) を②の
代わりに用いるとずっと速く解ける。
