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●9 連立1次方程式/連立方程式の解の存在条4
JCa-2)ェ+4ay=-1
l2-(3a+1)y=a
aを実数の定数として, 次のx, yについての連立方程式を考える。
コのとき, この連立方程式の解は存在しない。
コのとき, この連立方程式の解は無数に存在する
(魔導大)
a=
a=
等式の条件の扱い方
が原則的な手法である。z, yの連立1次方程式の場合,例えば一方の式からェをyで表して, 他方の幸
に代入するとyの1次方程式に帰着できる。
この方程式 px3qの解
等式の条件式が1個与えられたら, それを使ってどれか1文字を消去するの
カキ0のときェ=, カ=0かつ q=0のときょは任意, か=0かつ qキ0のとき解なし
p
言解答
J(a-2)r+4ay=-1
1ェー(3a+1)y=a
2
であり,②により,
エ=(3a+1)y+a
不立
3をDに代入して,
(a-2){(3a+1)y+a}+4ay=-1
:(3a?-a-2)y=-α'+2a-1
f-13+2)y=ー(a-1)2
yの方程式④の解yに対して, ③によりェがただ1つ定まり, 連立方程式①か
番線
令方程式の解が存在する·存在しな
いをとらえるには,実際に求めよ
と考えればよい。 yを求めるな
ら,の式を導くところ。
つのの解(z, y)がただ1つ定まる。
よって,連立方程式の解が「存在しない·無数に存在する」 条件は, ④の解が
「存在しない·無数に存在する」ことと同値である.よって, ④から
(a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)?+0, つまり a=--
2
のとき解なし、
3
(a-1)(3a+2)=0かつ -(a-1)。=0, つまり a=1のとき解は無数.
→注 恵立1次方程式の解の帝電条件を座標平面で考える方法もある。
[az+ by=e…® 1(a, b)キ(0, 0))
コ本間の場合,次のようになる。
のとのが平行(一致も含む)であ
るための条件は,[
一般に,
lcz+dy=f…①
を考えてみよう。 zy平面上で⑦, ①は直線を表す. ⑦と③が交われば, その交
点の座標が連立方程式の解である. したがって,
●解が存在しないということは, 直線のと①が共有点をもたない, つまりのと③
が平行で一致しないことと同値。
解が無数に存在するということは, 直線のと④が一致することと同値、
ーということになる。
直線のとのが平行である (一致も含む)ための条件は,
(a-2):4a=1:{-(3a+1)}
ー(a-2)(3a+1)-4a=0
: 3a-a-2=0
2
1 J
これらのときのの, ②を求め、
致するかどうか調べる(α=1
ときのみ一致する).
ー=D
3?
a:b=c:d( → ud-bc=0)
