右ページの（1）の中の、t^2-2xt-4＝0がどこかは出てきたのか分かりません。教えてください。

数学Ⅱ α+β_m+1 ② X= 2 2 また,Pは直線上の点であるから y=mm -1)-1 m²-m-2 ③ 2 ②から m=2x-1 ...... ④ ③に代入して整理すると y=2x2-3x また,(1)の結果と④から 2x-1<-1, 3<2x-1 ゆえに x<0.2<x よって、求める軌跡は 放物線y=2x3xの x0, 2<xの部分 ya つなぎの文字 去。 (1)① ② からyを消去すると a-Bx= 2 a2-B2 βであるから これを①に代入して 数学Ⅱ -97 (2) すなわち a-B 2 x= (a+B)(α-B) 4 x=A+B M 2 R aa+B Q2 aẞ 2 2 4 よって、点Pの座標は 2 (a+h, as) x aẞ ③から -1 (1) ←y 座標が定数, x座標 3章 α+B は任意の実数。 練習 ゆえに y=-1 ④ 逆に、④が成り立つとき,α, βを2解とする 2次方程式 [図形と方程式] 練習 放物線y=- 4 @114 線の交点をP, 線分 QR の中点をMとする。 上の点 Q R は, それぞれの点における接線が直交するように動く。この P-2xt-40の判別式を D' とすると D =(-x)-1-(-4)=x2+4 よって D'> 0 (1)点Pの軌跡を求めよ。 (2)点Mの軌跡を求めよ。 類 よって、任意のxに対して実数α, B (αキβ) が存在する。 直線 y=-1 したがって, 点Pの軌跡は ← 逆も成り立つ。 点Qの座標をα, 点の座標 (24) (2) M(x, y) とすると (ただしαキβ) とする。 a+B ...... 点Qにおける接線でx軸に垂直なものはないから, 接線の傾 とすると,その方程式は x= 2 ④,y= 1/2(+2) ⑤ ④から α+β=2x ...... ⑥ y=(xa) すなわち y=m(x-a)+- Q2 a2+B2 (α+B)22aB これと立してx-a)+o ←点(x1,y) を通り きの直線の方程式 y-y=m(x-x) ⑤から y= 8 8 これに ③ ⑥ を代入して (2x)'-2(-4)_x2 整理すると x2-4mx+4ma-α2=0 y= +1 ←つなぎの文字α, β を 消去して, x, yの関係式 を導く。 8 2 したがって, 点Mの軌跡は 放物線y= +1 2 この2次方程式の判別式をDとすると =(−2m)²−1·(4ma-a²) =4m²-4ma+α²=(2m-α) 2 接するとき, D=0であるから (2m-a)²=0 よってm=1 [参考]「微分法」(第6章)を用いると,y= x2 から y' = x 2 よって,点 Q における接線の傾きは であるから、接線の 方程式は したがって,点Qにおける接線の方程式は y=1/2(xa) すなわち y= 4 a ←①が導かれた。 4 ① この2接線が直交するから 01/10/2= 同様に,点R における接線の方程式は y=! a B 同様に,本冊 p. 181 重要例題 114 において, y=x2 のとき y'=2x 8-2 B2 21 4 ② ←点Rにおける接線に すなわち 22=-1 ついてもまったく同様 あるから したがって、点P (p, p2) における接線の傾きは2p である から 接線の方程式は y-p²=2p(x-p) 5 y=2px-p² aβ=-4 ...... におき換えるだけでよい のように簡単に求めることができる。 I Aor

数Ⅰの二次関数の問題です。 x=-1,1で場合分けする理由を教えてください。 ［2］に含めてもよいと考えてしまいました。 よろしくお願いします。

重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3) 000 方程式x+ (2-a)x+4-2a=0が1<x<1の範囲に少なくとも1つの をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 基本 指針 条件が｢-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに 大きく分けて次のA, B の2つの場合がある。 A-1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解は2つと考える) ® -1 <x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ A [1] 方程式の2つの解をα, B(α≦β) として, それぞれの場合につ + a いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。 ®は以下の4つの場合がありうるので注意する。 ® [2] ® [3] -1<x の範囲に B [4] a + B x は -1<x<1 の範囲に1つ、 <-1 または 1<x の範囲に1つ + x & x-x-2=0 (x-21 (x + 1) = 0 α=-1 A B= + -1 a -1 B1x x=-1と-1<x<1 の範囲に1つ f(x)=x2+(2-α)x+4-2aとし, 2次方程式f(x)=0の 解答 判別式をDとする y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 a-2 x= である。 2 [1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条 件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分と異 なる2点で交わる, または接することである。 すなわち、次の (i)(iv) が同時に成り立つことである。 (1) D≥0 (Ⅱ) 軸が-1<x<1の範囲にある (iii) f(-1)>0 (iv) f(1)>0 (i) D-(2-a)2-4.1.(4-2a) =d+4a-12=(a+6)(a-2) D≧0から (a+6)(a-2)≥0 a≤-6, 2≤a ゆえに a-2 (ii) x= について 2 よって -2<a-2<2 ****** ① -1<a-2 <1 1 の範囲 2-a x=- 2-1 条件は 「少なくとも1 であるから, グラフがx軸 場合,すなわ この場合も含まれ [1] 軸 D=0 ゆえに 0<a<4 2 (i) f(-1)=-α+3であるから よって a<3 3. -a+3>0 +

中線定理の証明です。 マーカーで引いたところがなぞこの式になるのかを教えてほしいです！！

3-4 中線定理 159 わかっ 解答 A(a,b),B(-c, 0),C(c, 0), M(0, 0) とおくと AB2= (a+c) +62 =a2+2ac+c2+b2 AC2=(a-c)2+b2 =α2-2ac+c2+b2 より AB2+AC2=2a2+2b2+2c2 2 ...... ① AM²=a2+b2 001宝 2-8 R BM2=c2 より AM2+BM²=α2+b2+c2 ......② ① ② より AB2+AC2=2(AM²+BM2)が成り立つ。 Mod (HP) 例題 3-4 LA ここで証明したのは、実は有名な定理なんだ。 右の図 実は有名な定理なんだ。右の図 A いろ大 標に のように,△ABCの辺BCの中点をMとおくと AB2+AC2=2 (AM2+BM²) が成立する。これを中線定理というんだよ。 B MC でも通る点の座標が2つわかっている。 公式で えるよ。 d+zm=y友野 方程式 x (エクリュ)を通る直線の方程式は とき エエのとき (エ) ビ 数Ⅱ 3章 一

ピンクのマーカーで引いたところがなぜそうなるのか解説を読んでも理解できません。

3 基本 例題 99 外接する2つの円と直線 A.2321300000 点Aで外接する 2 つの円 0, 0′ の共通外接線の接点を それぞれ B, Cとする。 (1) △ABCは直角三角形であることを示せ。 (2)円0の直径 BD を引くとき, 3点 D, A,Cは1つ の直線上にあることを証明せよ。 D P.493 基本事項 2 指針 2つの円を結びつけるものとして重要なのは,次の3つである。 ② 共通弦 ① 中心線 ③ 共通接線 本問では,2円のようすから, ) 共通接線を結びつける手段に考えるとよい。 (1) A を通る共通接線とBCの交点をMとすると, Mから円 0, 0′ に,それぞれ接 線が2本ずつ引かれたことになる。 よって, 接線の長さは等しいことから |AM=BM=CM (2)3点D,A,Cが1つの直線上にあることをいうには,∠CAD=180° を示せばよ い。 3章 1円と直線、2つの円の位置関係 CHART ① 2つの円 2 接する2円 共通接線を引く 共通弦を引く 中心線で垂直に2等分 交わる2円 中心線上に接点あり 解答 (1) 2つの円の接点 Aにおける 共通接線と BC との交点をM とする。 MA, MB は円 0 の接線であ るから AM=BM MA, MC は円 0′ の接線であ 指針 |の方針。 共通内接線 AM が問題 解決のカギ。 円の外部の1点からその 円に引いた2本の接線の 長さは等しい。 るから AM=CM ゆえに AM=BM=CM よって, AはMを中心とする円, すなわち線分 BC を かくれた円を見つける。 直径とする円周上にあり ∠BAC=90° したがって, △ABCは ∠A=90° の直角三角形である。 (2) 線分 BDは円0の直径であるから B ∠BAD=90° よって ∠CAD= ∠BAD + ∠BAC =180° ゆえに, 3点 D, A, Cは1つの直線上にある。 D

最後の方で、絶対値a＋bが0以上になってると思うんですけど、0も含まれる根拠を教えて欲しいです。

ベクトルの内積 (213) C1-27 例題 C1.14 内積とベクトルの大きさ(3) **** ベクトルà, 方 が la-6=1, |2a+36|=1 を満たすときの最 大値、最小値を求めよ. 考え方 ab=u2a+36=0 とおくと=10=1+1=1/2(+20) となる。 最大値を求めるのに 絶対値が式のとき ....... 2a+3b=v .......② とおくと ||=1, |v|=1 解答 ①②より、auで表すと文字ありが2つ a+b=u+2v a=3u+v 5 b-v-2u 5 よって, これを表すために 5 を使う ữ ta là | u+2v 5 25 (|u|²+4u v +4|v|²) 1 25 25 www ここで,||||||||より 16+20-12/3 (14+40+416円) (12+4uv+4×12)=- (5+4u-v) 080 ③ ①×3+② より 5a-3u+v ② ① ×2 より 56=v-2u したがって、 ③より1=105 25 01+20より 12/16/20 よって, a +6の最大値 最小値 1 3-5 -1≤u v≤1 |||=1, ||=1 a-b= |a|b|cos -1 cos 0≤1 th, -ab≤ab≤ab ( 内積の性質) 72-2ab+b² = 1 42+ 122 6+96² = 1 うになる。 +2 +22 とは同じ向きで, このとき,|a-6|=|-561=1より16=1/03 la +6=1/2/3 となるのは,=1のときであり、このときとは逆向きで, ||=||=1であるから, u=-v すなわち、 ① ② より ab=-(2a+36) であるから このとき より16=23 今回のように条件を満たす a, が存在することの確認を解答からは省略しているが, 求めた解が題意を満たすかどうかなどは,つねに確認する意識はもっておくとよい 第3章 練習 平面上のベクトルαが24+6=1-36=1 を満たすときの最 B1 B2 = p.C1-32 [12) C1 C1.14 大値、最小値を求めよ. C2 *** 1

(2)が全くわからないので詳しく解説してほしいです🙇🏻‍♀️

66 第3章 2次関数 基礎問 38 最大・最小 (IV) x,yがすべての実数値をとるとき, z=x2-2.ry+2y2+2.x-4y+3 について,次の問いに答えよ. (1)yを定数と考えて, xを動かしたときの最小値をyで表せ. (2)(1)において,yを動かしたときの最小値を考えることで, zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ. 変数が2つ(xとy)ありますが, 37 のように文字を減らすことが 精講 できません.このような場合でも、 変数が独立に動くならば、片方 の文字を定数と考えることによって,最大値や最小値を求められます. 解答 (1) z=x2-2(y-1)x+2y2-4y+3 ={x-(y-1)}2-(y-1)2+2y2-4y +3 ={x-(y-1)}2+y2-2y+2 よって,m=y2-2y+2 (2)m=y2-2y+2=(y-1)2+1 .. z={x-(y-1)}2+(y-1)2+1 {x-(y-1)}2≧0, (y-1)2 ≧0 だから x-(y-1)=0 かつ, y = 1, すなわち x= 0, y=1のとき, 最小値1をとる. ポイント 式をxについて整理 ◆平方完成 A, B が実数のとき A2+B2≧0 等号は A=B=0 のとき成りたつ 2変数の関数の最大・最小を求めるとき, それらが独 立に動くならば,片方を定数と考えてよい

これの（2）の解き方の考え方を教えて欲しいです。

C1-40 (226) 第3章 平面上の Think 題 C1.22 ベクトルと軌跡 平面上に△ABC があり, 実数kに対し、 12p=46+5c-kc-b) 3PA +4PB+5PC=kBC を満たして動く点Pがある。このとき,次の問いに答えよ. (1) kがすべての実数値をとって変化するとき, 点Pの描く図形を図示 せよ. (2)△PAB, △PBCの面積をそれぞれ, S, S2 とするとき S:S2=1:2 となるようなkの値を求めよ. 考え方 (1) 点Aを基点として,AB=AC=CAP= とおいて与式に代入し、 の形に変形するは,を通りに平行な直線) 解答 wwwwwwwww (2) △ABCの面積をSとし,まずは S, S2 をそれぞれSで表す。 (1)点Aを基点とし,AB=1, AC=C, AP= とおく. 3PA+4PB+5PC=kBC より 3(-)+4(-)+5c-p)=k(c-b) AP: AQ=3:4 ...... ② より 4 41 38' 3 ベクトルと図形 (227) C1-41 **** であるから,S:S2=12 のとき, ST -S 80 △ABQの面積を S3 とすると, もう片方を特定 したがって, BQBC=1:6 ...... ③ 次に, ①を変形すると, △ABC: △ABQ =BC: BQ 0 んを含まない部分 12 46+5cc-6) ......1 (動かない) と, kを含 12 む部分(動く)に分け 49 3.46+52 (-b) る. -5-(-6)=5¬BC 9 12 9 10 A AP= (4+k)+(5-k)c 12 であり,②より ATH 0 AQ=1/AP=12(4+k)+(5-k)c 3 (4+k)b+(5-k)c よって, 交点の付 9 BQ=AQ-AB 12 (4+k)b+(5-k)c 一言 上の点である. 9 より,Qは直線 BC 点PがABCの内部 の場合と外部の場合が ある. 45246 第3章 4+k 5-k_9 1 9 9 9 RA 12 3-4 A 線分 BC を 54 に内分する点を D, 線分AD を だからBQBC-156k1 ORO 9 3:1 に内分する点をEとすると, wwwwwwwww A ADBC-AEBC 002+111.015-k=1 6 GO+AO-1 FP G wwww よって,点Pは点E を通り辺BC に平行な直線上 にある. RIA 3 5-k=± Q E 6 + P 11 その直線と辺 AB, AC の交点を F, Gとすると, AF: FB=AG: GCA B 5-D--4-C よって、 k = 1/12 1/27 7 13 2' =AE ED =3:1 であるから,点Pの描く図形 は、 右の図の直線 FG である. F P B PF G Q1B C kがすべての実数値を とるので,直線 FG と なる. 注》頂点Bを基点とし、BA=BC=BP=_ とすると 3PA+4PB+5PC-kBC 1, 3(a-p)+4(-p)+5(c-p)=kc となる. 5-k P この式を整理すると, 12 よって、点Pは,辺AB を 3:1に内分する点 F を通り直線 BC に平行な直線上を動く. B C 練習 01.22 ABCがあり実数kに対して、点PがPA+2P+3PC=kAB を満たすも B1 B2 ADDを求めよ C1 (2)直線APと直線BCの交点をQ とすると, FG/BC より AQ:PQ=AB:FB=4:1 したがって,△ABCの面積をSとすると,点Pが どこにあっても,△PBC の面積 2 は一定で, S= s

赤線ひいたところなんでですか？🙇‍♂️

要 例題 105 連立不等式が整数解をもつ条件 00000 xについての不等式x2-(a+1)x+a<0,3x2+2x-1>0 を同時に満たす整 数xがちょうど3つ存在するような定数αの値の範囲を求めよ。 [摂南大〕 基本 33.93 C 重要 103 CHART & SOLUTION 連立不等式 数直線を利用 不等式の左辺を見ると、 2つとも因数分解できる。 2-(a+1)x+α<0 は文字αを含むから、重要例題103と同様、αの値によって場合を分 けて解を求める。 解の共通範囲に含まれる整数値の考察には、数直線の利用が有効である。 解答 x2-(a+1)x+α<0 から (x-a)(x-1)<0 ←1 よって X_1→-1 →a→-a α <1 のとき a<x<1 a=1のとき 1 a -(a+1) (x-1)2<0 から 解なし この1<a のとき 1 <x<a ① (x-1)2は常に0以上。 3x2+2x-1>0 から (x+1)(3x-1)>0 よって x-1.1/2<x ② ① ②を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するのは a < またはa>1のときである。 [1] a <1 のとき 右の図から, a<x<-1 の範 囲の整数が-2, -3, -4で あればよい。 よって [2] α>1 のとき 2- ① -51-4-3-2-10:1 x 1 a 3 -5≦a<-4 右の図から, 1 <x<a の範囲 の整数が2,3,4であればよ (1) 白い。 ←13 -1 0 1 2 3 4 5 x 12 a よって 4<a≦5 以上から -5≤a<-4, 4<a≤5 11/23 <x<1には整数は含 まれない。 3章 a=-5 のとき,①は -5<x<1 となり、 x=-5 が含まれず条件 を満たす。 a=-4 のとき, ① は 4<x<1 となり, x=-4 が含まれず条件 を満たさない。 (p.61 ズーム UP 参照。 11 2

マーカーを引いた部分がよく分かりません 詳しく教えていただけると有難いです💦

基礎問 68 第3章 いろいろな関数 40 逆関数 f(x)=ax-2-1 (a>0.22)とするとき、次の問いに答えよ。 ((1) y=f(x)の逆関数 y=f(x) を求めよ。 エーエ (2) 曲線 C:y=f(x) と曲線 C2y=f-' (z) が異なる2点で交わる ようなαの値の範囲を求めよ. (3) C1, C2 の交点のx座標の差が2であるとき, αの値を求めよ。 精講 〈逆関数の求め方〉 y=f(x) の逆関数を求めるには,この式を x=(yの式)と変形し,xとyを入れかえればよい 〈逆関数のもつ性質> Ⅰ. もとの関数と逆関数で, 定義域と値域が入れかわる Ⅱ. もとの関数と逆関数のグラフは,直線 y=x に関して対称になる 逆関数に関する知識としてはこの3つで十分ですが,実際に問題を解くとき 〈逆関数のもつ性質〉を上手に活用することが必要です。この基礎問では,IIが ポイントになります。 解答 (1) y=√ax-2-1 とおくと, √ax-2=y+1 リーェに で交わる ry-f よって すな 範囲 求め そこ この (3) よって, y+1≧0 より, 値域はy≧-1 ここで,両辺を2乗して 大切!! ax-2=(y+1)2 . x=11 (y+1)²+² (y≥−1) a よって、f(x)=1/2(x+12+2/2/(x-1) a a 【定義域と値域は入れ かわる 注 「定義域を求めよ」 とはかいていないので, 「x≧-1」は不要と思う 人もいるかもしれませんが,xの値に対して」を決める規則が関数で すから、xの範囲, すなわち, 定義域が「すべての実数」でない限り は、そこまで含めて 「関数を求める」 と考えなければなりません. (2) y=f(x)とy=f(x)のグラフは,凹凸が異なり,かつ,直線 253

このような解説のときに、｢0<a/2<2すなわち0<a<4｣みたいに、0<a<4だけでなく、赤字で書かれた0<a/2<2のような過程も必要ですか？0<a<4だけしか書いていなければテストなどでは減点ですかね？

▼区間の位 一に凸の放物線で、軸が区間0≦x≦a に含まれれば頂点で最 aに含まれるときと含まれないときで場合分け 区間xak 最小 [2] 軸が区間 の内 a2のとき と x=2で最小値1 (2) 区間 0≦x≦a の中央の値は である。 2 [3] 0 << 2 すなわち 0<a<4 [3] のとき 図 [3] のように,軸x=2は区 間の中央より右側にあるから, x=0で最大となる。 最大 <指針... ★の方針。 区間 0≦x≦aの中央 12 が,軸 x=2に対し左右 どちらにあるかで場合分 けをする。 最小 最大値は f(0)=5 凸の放物線で,軸から遠いほど x=0| a x= 2 x=2 x=a x=0の方が軸から遠い。 軸 a )。 端から軸までの距離が等しくな 2 [4] 11 =2 すなわち a=4 のとき [4] 軸 一致するような) αの値が場合 図 [4] のように, 軸 x=2は区 間の中央と一致するから, 最大 最大 軸が区間の [5] 軸が区間の 区間の両端 中央に一致 から軸まで の距離が等 中央より左 軸 しいとき。 最大 最大 x=0, 4で最大となる。 開入 区間の 中央(+ S+(x+ 区間の 中央 f(x)=x2-4x+22 最大値は f(0)=f(4)=5 個にある x = 0 |x=4 x=21 軸とx=0aとの距離が 等しい。 3章 ⑩ 2次関数の最大・最小と決定 [5] 2< すなわちα>4のとき 図 [5] のように, 軸 x=2は区 間の中央より左側にあるから, x=αで最大となる。 最大値はf(a)=a2-4a+5 a [3]~[5] から 0<a<4のときx=0で最大値5 a4のとき [5] 軸 最大 x=01 x=0, 4で最大値5 a x=αの方が軸から遠い。 [1] 2009 x=a[1] x=2x=2&On x =αで最大値 α-4a+5 この問題で求めたf(x) の (0) 最小値・最大値はαの関数 になる。 詳しくは,解答編 70の検討 参照。 で,軸は直線x=2 -22+5 a=4のとき まれるかどうかで場合 指針 ★ の方針。 軸x=2が区間 0≦x≦o に含まれるかどうかで, 最小となる場所が変わる。 ーx