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基本 24 数列の和と一般項, 部分数列
×
(1) 一般項 am を求めよ。
|初項から第n項までの和 Sm がSm=2n²n となる数列 {an} について
000
( (2) 和a1+astas++αを求めよ
24 (1)
Sn = 2n²- h
p.439 基本事項
1.1.7
指針 (1) 初項から第n項までの和S と一般項 α の関係は
n≧2 のとき
S=α+az++an-tan
-) S-1=a+az+... +αx-1
S₁-Sn-1-
n=1のとき
a₁ =S₁
an
よってan=S-S
和S がnの式で表された数列については, この公式を利用して一般項を
(2)数列の和→まず一般項(第1項) を々の式で表す
第1項 第2項 第3項 ••••... 第k項
as,
03,
as.
であるから,am に n=2k-1 を代入して第を項の式を求める。
なお, 数列 α1, 43, as,......., 2-1 のように, 数列{az}からいくつかの項を
いてできる数列を, {a} の部分数列という。
(1)n≧2のとき
an-S-S-1-(2n²-n)-(2(n-1)-(n-1)) S=2n²-n
=4-3...... ①
S-1-2(n-1)
解答
S₁ = 2 - 1 = \
52=8-2=6
S3=2.9-3=15
Sn=2m²-n
01=1
02=5
23=9
Snt1=2(n+1)2-(n+1)
-) Sn=2m²-n
an = 2 (n²+2n+1) (n + 1)-(2n² -h)
=2x+4n+2-n-1-21
3
4h+1
解答
また α」=S,=2.12-1=1
初項は特別扱
ここで,① において n=1 とすると α=4・1-3=1
よって, n=1のときにも①は成り立つ。
an
n≧1で
表される。
したがって an=4n-3
(2) (1)より,=4(2k-1)-3=8k-7であるから
◄ak-a-
++
いてに2k-1
atas+as+....+α2n-1=242k-1=
azh-1-(8k-7)
k-1
冒
検討
=8.12 n(n+1)-7n+9-21の5
=n(4n-3)
n≧1 で αn=S-S-」 となる場合
例題 (1) のように, a, =S,S3でn=1とした値とαが一致するのは、Sの式で
したときS=0 すなわちnの多項式S の定数項が0 となる場合である。もし、
S=2m²-n+1 (定数項が0でない) ならば, α=S=2, α=S-S-1=4n-3(n
り4-3でn=1とした値とαが一致しない。 このとき、最後の答えは
「α=2,n≧2のときan=4n-3」 と表す。 (+) (+)
② 24 αn と和α+a+a+..+α3-2 をそれぞれ求めよ。
練習初項から第n項までの和 S” が次のように表される数列 {an} について 一般
(1) S=3m²+5n
(2)S=3m²+4n+2.08
