こういうふうにくくれるものは絶対くくらないとダメですか？

(2) x² cos.x dx = fx². (sinx)' dx = x² sinx - f (x²)'. sinx dx = x² sinx-2x 2x sinx dx = x² sinx-2x 2x • (− cosx)' dx = =x² sinx-{2x-(-cosx) 部分積分法 を2回用い る -f(2x)-(-cosx)dx} = x² sinx + 2xcosx + √2. (- cos x) dx = x² sinx + 2xcosx-2sinx+C 2 = (x²-2) sin.x+2xcosx+C Hool

部分積分の公式についてですが、赤丸部分に積分定数(C)が含まれているから、右辺に+Cをつけなくて良いとのことですが、赤丸部分に積分定数(C)が含まれているというのがどういうことなのかわからないです。 解説おねがいします。

部分積分法 4_Sf(x)g'(x) dx=f(x)g(x)—Sƒ'(x)g(x) dx

数３積分の問題なんですけど、（1）の2.3行目に書かれている0との大小比較はどのように行えば良いのでしょうか？

x3 AN 334- 数学ⅡI EX ©210 a> 0に対し, f(a)=lim lax+xlogxdx とおくとき 次の問いに答えよ。 必要ならば, 1-+001 limt logt=0 ( 1 2 ......) を用いてよい。 1+0 ① f (a) を求めよ。 aが正の実数全体を動くとき, f(α) の最小値とそのときのαの値を求めよ。 3 (1) g(x)=ax+xlogx よって 0< x≤eª g(x)=x(logx+a) g(x) ≤0 x≧e-a のとき g(x)=0 また、a>0のとき,0<e "<1である。 t→+0のときを考えるから, tを十分小さくとると S₁lg(x)\dx=S¢{-g(x)}dx+Sr_a9(x)dx == g(x)dx=f(ax+xlog x) dx x² 2 = x² + logx-S²dx = x²(a+logx)-x²+C x²(2logx+2a-1)+C (C1) 4-311 よって, G(x)=x2 (210gx+2a-1) とすると e-a S₁lg(x) dx=[-G(x)] + [G(x)]. e-a =G(t)+G(1)-2G(e-a) ここで, limt2logt=0であるから lim G(t)=0 したがって t→+0 t→+0 (2) (1) から f'(a)=1/12(-2-20)+1/12--0-20+12/2 よってa=12/2log2 -2a- ƒ(a)=lim{G(t)+G(1)—2G(e¯ª)}=G(1)-2G(e¯ª)); ←f(a) a 1 =(2a-1)-2. e.(-1)= 1 e ² + 2 -- -2a -2a 4 (1+x) f'(a)=0 とするとe ゆえに, a>0 におけるf(α) の増減表は右のようになる。 したがって, f(a) は a = log2で最小となる。 最小値は12/2102)-1/12-0 og e a 0 . f'(a) f(a) : - -log 2 +log 2- 4 4 +₁ 4 2 log 2 = 1/2+1/2+11og2-1=11og2 4 4 0 極小 |←logx+a=0 とすると log x=-a よってx=e-a : + [埼玉大] ←部分積分法。 Sxlogxdx=logxdx yoll ←=G(ea) +G(t) +G(1)-G(ea) ←G(t)=logt +1-1²(2a-1) =S₁lax+xlogx|dx (広義の定積分) O ←-2a=log YA 1 2 y=-(A)*+/ log2 a

数３積分の問題です。（3）の青い波全部のところはどこから出てきたのでしょうか。

EX Ⓒ209 x-3 (1) 1₁=S²x−³ dx=S²(1− ³)dx=[x−3logx] =1-31og²2 2 nが正の整数のとき,In=(x-3)" dx とする。 ●1) L を求めよ。 ●(2) 2=x=3のとき x=3のとりうる値の範囲を求めよ。また,lim In を求めよ。 (3) In+1 を In を用いて表せ。 (4) (+1)-1/2)を求めよ。 n=1 このとき よって したがって (2) 230 231 2 151-250 +3. 153. 153 - 12/1 2≦x≦3のとき 3 ゆえに したがって lim 72400 すなわち 1 2" n (x−3)” 0≤ Inl= |S² (x-3)" dx ≤S") (x-3)^ |dx = 5.2" dx 3 1 | 2 nx” nx" n 5) 5+(1-DS+xs -=0であるから 1 n+1 == 0≦x=3121/ x-3 | * = ³ = ( ² )" x 1 x-3 n | (x-3)" |- - - | x=³ | ≤ 2 ² 11 1 n 2"n 0≤| In≤ 00 (4) (3) の結果から n=1 S (3) In+1=√₁ (n+1)x²+1 dx = 7+1 S² (1²) - (x-3)²+¹ dx n+ n+1 nx" m - 1 2"n nx n n(n+1) ( - 1² ) ² + 1₂ n=1 lim In=0 12-0 xb(z)g+xb((x)0-) -able) 2 2xb(xgolz+x0)( 553 Sa+3 (1-5+*gols)* 1 In-In+1= = n(n² + 1) (-²/² ) " n(n+1) m tot n(n+1) (-2)²-(In-In-x) よって n=1 = I₁-Im+1 n+1 Spol ここで, lim Im+1=0であるから m→∞0 n+1 (x-3)^²+₁ 2+25" (x-3)* dx 02¹ mill 110 mil 02 nxn 3 =1-3 log- ≤Solf(x)\dx ←はさみうちの原理。 [63] + [25-xl(2017 ←部分積分法。 数学ⅡI- m Σ -lim ²-₁ n(n+1) (-²) ² - Im+1 n (n+1) (-2)=lim n(n+1) [ 関西学院大 〕 =lim (1-310g-3-In+1) 2 m-∞ 3 $=1-31og2 ←a<bのとき -333 So f(x) dx| 533 ←(3) の結果を利用。 7章 EX ← (In-In+1) =(1₁-1₂)+(1₂-13) +··· ...+(Im-Im+1) (b) t=11-Im+1 2333103BARO 積分法

(2)なんですけど分母がm＋1からm＋nに変わった経緯がわからないです...

m,nを0以上の整数として, Im,n="sin" xcos" xdx とする。 次の等式を証明せよ。 ただし, sinx=cosx=1である。 @Im.n=In.m n-1 2 Im.n m+n ▷ (1) sin(x)=co 2 cos(-x)=si tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。 (2) sin" xcos"x=(sin" xcosx) cos”-'xとして 部分積分法を用いる。 E, sin+2xcos" 2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x 解答 x= よって π 2 (1) x==²(dx=(-1) dt xとtの対応は右のようになる。 -x=cosx, cos Im.n=S²³ sin" x cos" x dx th-251) ASHIN ** Ssinxc (2) n≧2のとき Ssin™. xcos" x dx=(sin" x cos x) cos"-¹xdx= sin+1xcos-1 m+1 Sinm+1, X COS Ssin" x sinxco m+1 xcos2xdx=Ssin" x n-1 ① ② から I bxk [ễ sin” xcos"xdx= したがって Im.n= π =f-sin" (2-t)cos" (2-1)-(-Dat=S² sin" x cos" xdx=In.m 2 m n-1 m+n xcos”xdx= x=sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し, 置き替えは まず始めに これを疑う、 sin+1x m+1 mtissi + -Im,n-2 Sinm+1 12-2 X COS m+n -Im.n-2 (n ≥2) m+n COS" ²x(1-cos²x)dx x cos' n-1 n-1 Sinm+1 m+1 =Ssin" xcos"-2x dx-Ssin" x cos" xdx m Sinm+, ? 8 222~ t 11 2 m+2 sin" xcos"-²x dx + & x H 0→>>> π 2 =) (n-1)cos"-2x(-sinx) dx n-T m+n E2 0 ** cos-x dx TUEIX-* C XHAVENGAHIND ****** m sin x cos' -2x dx + n=1 S² sin" x cos-²x dx 10 m+nJo

数三の定積分の問題です。 (１)ではπ／2－tでsinとcosが入れ替わることは分かるのですがm.nがまで一緒に入れ替わってしまう理由がわからないです...

- Ed 重要 例題 nを0以上の整数として, Im,n=So sin" xcos" xdxとする。 m, 次の等式を証明せよ。 ただし, sin x=cosx=1である。 ① Im.n=In.m n-1 m+n 解答 x= (1) x= 指針 (1) sin(x)=cos.x, cos(x) = sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、 ▷ π x=tとおくと dx=(-1)・dt 2 xとtの対応は右のようになる。 よって tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。 (2) sin" x cos"x=(sin" xcosx) cos” x として部分積分法を用いる。 更に, sinm+2 xcos"-2 x = sin" xcos”-2x-sin" x COS" x から 同形出現。 H Im.n Aft ・h-2より、 TL -S² sin" x cos" x dx p.339 事項 0②. Im.n= -Im.n-2 (n ≥2) = [ 216,220 00000 置き替えは まず始めに これを疑う、 8 t 0 π 2 π 2 0 ① -S"sin" ( z—t)cos" (z −t)-(-Dar-f cos" (ハート)(-1)dt=So sin"xcos"xdx=In.m 2 2 H

積分です。 定積分の部分積分法を使うこの問題の 解き方をどなたか教えてください🙏

(3) 1 e² logx dx

積分です。 定積分の部分積分法を使うこの問題の 解き方をどなたか教えてください。

(4) e [x² logx dx 1

(3)がよく分からないです。 この問題の解き方を噛み砕いて教えていただきたいです。お願い致します。

日〉 東京理科大 理工〈B方式 -2月4日〉 13 正の定数a (a ≠1) に対して, 2次関数f(x) を EELTE f(x)=az (1-m) と定める。 曲線 C:y=f(x) の点 (10) における接線をl1, 直線y=-x をl2と する。 曲線Cのx≦1の部分と2直線l1,l2 で囲まれる部分の面積をSで表し, ま たこの部分を軸の周りに1回転してできる図形の体積をV で表す。 is (1) 直線l1,l2の交点の座標をaを用いて表せ。 (2)Sをaを用いて表せ。 1 + 1² (3)定数a は a>1を満たすものとする。 2直線l1,l2 とæ軸で囲まれる部分をェ (4) 軸の周りに1回転してできる図形の体積をU で表すとき, ART. [] [2][14. をαの1次式で表せ。 lim (a - 1)2 V の値を求めよ。 a+1+0 1) 53001 >> IYONG @ 30a³ (a − 1) 4 π @ 2 2015年度 数学 15 28² (V-U) [ T8308-4**# (4) && [p] 18,800 Ap 四象 20- (30点)

定積分の問題です！ 解説と回答をお願いします🙏 部分積分法を使うのだと思うのですがやり方が分かりません

So cosrx ((+sin³x) dx FIN A. 1 B. ER C. $0-$ I