Question

みみ

(2)なんですけど分母がm＋1からm＋nに変わった経緯がわからないです...

m,nを0以上の整数として, Im,n="sin" xcos" xdx とする。
次の等式を証明せよ。 ただし, sinx=cosx=1である。
@Im.n=In.m
n-1
2 Im.n
m+n
▷
(1) sin(x)=co
2
cos(-x)=si
tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。
(2) sin" xcos"x=(sin" xcosx) cos”-'xとして 部分積分法を用いる。
E, sin+2xcos" 2x=sin" x cos"-2x-sin" x cos" x
解答
x=
よって
π
2
(1) x==²(dx=(-1) dt
xとtの対応は右のようになる。
-x=cosx, cos
Im.n=S²³ sin" x cos" x dx
th-251)
ASHIN
** Ssinxc
(2) n≧2のとき
Ssin™. xcos" x dx=(sin" x cos x) cos"-¹xdx=
sin+1xcos-1
m+1
Sinm+1,
X COS
Ssin" x
sinxco
m+1
xcos2xdx=Ssin" x
n-1
① ② から
I
bxk [ễ sin” xcos"xdx=
したがって
Im.n=
π
=f-sin" (2-t)cos" (2-1)-(-Dat=S² sin" x cos" xdx=In.m
2
m
n-1
m+n
xcos”xdx=
x=sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し,
置き替えは
まず始めに
これを疑う、
sin+1x
m+1
mtissi
+
-Im,n-2
Sinm+1
12-2
X COS
m+n
-Im.n-2 (n ≥2)
m+n
COS" ²x(1-cos²x)dx
x cos'
n-1
n-1
Sinm+1
m+1
=Ssin" xcos"-2x dx-Ssin" x cos" xdx
m
Sinm+,
?
8
222~
t
11
2
m+2
sin" xcos"-²x dx
+
&
x
H
0→>>>
π
2
=)
(n-1)cos"-2x(-sinx) dx
n-T
m+n
E2
0
**
cos-x dx
TUEIX-* C
XHAVENGAHIND
******
m
sin x cos'
-2x dx
+ n=1 S² sin" x cos-²x dx
10
m+nJo

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かきつばた

ん