このXってどこから来ましたか、公式ですか？

≦x≦0) x≤1) が めよ。 事項 数f(x)がf(x)= を求めよ。 3 500 PER 66 確率密度関数と期待値・標準偏差 00000 率変数Xが区間 0≦x≦10 の任意の値をとることができ, その確率密度 A 453 確率 P(3≦X7) -x(10-x) で与えられている。このとき,次のもの 20 (2) 期待値E(X) (3)標準偏差 (X) CHARTS SOLUTION p.450 基本事項 1 t Sx dx=n+1 x 確率密度関数がxの2次関数であるから,f(x)dx を計算する。 (1)(2), (3) 積分の計算において,以下の公式を利用する。 MONUJO TEA 2章 前ページの例題のように,三角形の面積として求めることができない。 8 n+1+C (nは0以上の整数, Cは積分定数) 正規分布 グラ (1) P(3≦x≦7)=f(x)dx=50fx (10-x)dx 500J3' 500S(10x-x)dx=500 5x- 3 580 (5(72-32)-7-3)-71 1500 103 Jo 500 5 (2)E(x)=(x)dx=S 積 が 10 x2(10-x)dx 3 10 3 4710 =5 500 S (10x²-x³) dx=500 30-]-5 (3)V(x)=f(x-E(x)}f(x)dx E(X)=m= n=Sxf(x)dx 10 =S(x-5) 3 x (10-x)dx 500 =500S(x+20x125x250x)dx PR-530-+5x-135x+125x=-5 ゆえに、 よって(X)=V(X)=√5 ←V(X) =(x-m) f(x)dx inf. V(X)=E(X2)-{E(X)} を利用して求めてもよ い ( 解答編 p.385 参照) A PRACTICE 668 (1)確率変数Xの確率密度関数が右の f(x)で与えられているとき,正の定 f(x)= (x) = {ax (2- ax(2-x) (0≤x≤2) (x<0, 2<x)

ここの変形ってどうなってますか、

a 2章 8 正規分布 7 よる近似 従う。 p.451 基本事項 30 40 50 26 0.004 0.001 0.000 -4 0.025 0.005 0.001 80.073 0.021 0.005 3 0.137 0.054 0.017 0.185 0.099 0.040 0.192 0.143 0.075 0.160 0.167 0.112 0.110 0.162 0.140 0.063 0.134 0.151 0.031 0.095 0.141 0.013 0.059 0.116 0.005 0.032 0.084 SPVER 69 二項分布の正規分布による近似 の範囲の値をとる確率を求めよ。 ただし, √2 =1.41 とする。 個のさいころを360 回投げるとき 6の目が出る回数を X とする。 Xが次 150≤ X ≤60 CHART & SOLUTION B(n, pq1p とする。 ますとかの確認( (2) X 1 360 ≤0.05 nが大なら正規分布 N(np, npg) で近似 360は大きいから,正規分布で近似。 p.451 基本事項 3 の目が出る回数 Xは二項分布 B360. に従い,近似的に正規分布 N60, (52) 2)に 使う。 →更に標準化する。 457 目が出る確率は1/3で、Xは二項分布 130.12) に従う。 -0.12 (62) 013×30 73x(10-2100 0.001 0.016 0.055 -000 0.007 0.032 0.003 0.017 0.001 0.008 Xの期待値と標準偏差は m-360-60, -360-15-5√2 nは十分大きいからXは 近似的に正規分布に従う。 m=np, o=√npq 0.000 0.004 X-60 よって、 Z は近似的に標準正規分布 N (0, 1)に従う。正規分布表を利用でき 0.001 52 る。 0.001 0.000 1) P(50X60)-P 150-60 52 60-60 $25 52 を四捨五入して を示してある。 して省略した。 右対称になり、 (1p) であ =P(-√220)=p(√2) =p(1.41)=0.4207 3000.05)-PX-60118)-P(5/27/518)14 =P(LX-60|≦18)=P -P(IZIS 18 52. 18 =2pl =2p(2.54) 52 189√29.1.41 5 5/2 5 =2×0.4945=0.989=2.38≒2.54 N(0.1)に ♪)に従う PRACTICE 69 mp(1-p)) したら100点を得点とするゲームを考える。 さいころを80回投げたときの合計得点を このとき、 X46 となる確率を求めよ。 ただし, [類 琉球大 さいころを投げて、 1.2の目が出たら0点 3.4.5の目が出たら1点 6の目が出

式を立てられてもこの答えを導くのが難しいです、 導出のコツはありますか？

376 基本 例題 16 (多項式の計算 次の和を求めよ。 (1) k (k²+1) k=1 (2) (3nk+k²) k=1 (3) 嶌 k=5 00000 (2k-9) p.375 基本事項 ピンオ ■は M k=- L CHART & SOLUTION Σの計算 k1 k=n(n+1), k=n(n+1)(2n+1), h²={n(n+1) k=1 (1)の性質を用いて、この和の形にし, k, k の公式を適用する。 の計算結果は,因数分解しておくことが多い。 (2)の計算では,nはんに無関係であるから、例えばnk=nkのように、この 前に出すことができる。 (3)の下のkが1から始まらないので,直接公式を使うことができない。そこで Ö(2k-9)=益(2k-9)-之(2k-9)として求める。この下の変数を1から始まるよう におき換える方法も有効 (p.377 INFORMATION 解説参照)。 n n (1) Σk(k²+1)=(k³+ k) = Σ k³+ Σk k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 -{1/12m(n+1)}+/1/2n(n+1)-1/n (n+1) (n(n+1)+2)n(n+1)が共通因数。 =±n (n+1)(n²+n+2) n 12 n 1/21n(n+1)=1/1n(n+1)-2 として考える。 (2)(3nk+k2)=23nk+2k=3nZk+2に無関係である k=1 k=1 「k=1¯¯ 最初の項 ■まで変 の文字を 例 注意 =3n.1/2n(n+1)+1/13n(n+1) (2n+1) k=1 からの前に出す。 30 =1/13n(n+1){9n+(2n+1))=1/n(n+1)(11n+1) (3)(2k-9)22-29=2/12n(n+1)-9n=n(n-8) 事前にを求めておく k=1 14 k=1 k=1 14 ゆえに k=5 (2k-9)=(2k-9)-(2k-9) PRACTICE 16° =14(14-8)-4(4-8)=100 次の和を求めよ。 (2) 42i(-n) n (1) (3k²+k-4) k=1 15 m と解答がスムーズ。 上で求めた式にn=14, n=4 を代入する。 (-AS) (3) (k²-6k+9) k=4

これって何分の1公式が使えますか？ 見分け方のコツはありますか

S S y=f(x) y=f(x) x) 日本 例題 211 放物線とx軸の間の面積 次の曲線, 直線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 y=x-x-2 CHART 面積の計算 ① A 331 00000 (2)y=-x+3x(-1≦x≦2), x=-1, x=201 ISOLUTION & まずグラフをかく 積分区間の決定 ②上下関係を調べる この区間で≦0 (1) まず, x-x2 = 0 の解を求める。 → x=-1,2 よって、積分区間は-1≦x≦2 公式 6 (xa)(x-3)dx=-1 (B-α)を用いると計算がスムーズ。 (2)(1)と同様に, -x2+3x=0 から x = 0, 3 1≦x≦0 y≦0,0≦x≦2x≧0 積分区間は-1≦x≦2 p.330 基本事項 1 よって、積分区間を分けて計算する。 注意 面積を求めるために解答にグラフをかくときは, 曲線とx軸との上下関係と、交点の x座標がわかる程度でよい。 (1) 曲線とx軸の交点のx座標は, 方程式 x2-x-20 を解いて (x+1)(x-2)=0 よって x=-1,2 -1≦x≦2 において y≦0 であるから, 求める面積Sは s=S_{(x-x-2)}dx =-S_(x+1)(x-2)dx =-(-) (2-(-1))- 2 (2) 曲線とx軸の交点のx座標は, 方程式 -x2+3x=0 を解いて x(x-3)=0|必要とよって x=0,3 -1≦x≦0 において y≦0,0≦x≦2 において y≧0 である から 求める面積Sは s=${-(-x2+3x)}dx+f(-x+3x)dx yy=xx2 -1 0 2 x 7章 O S 25 積 62 [- 3. X y=f(x) x= b 2つの曲 =g(x) JO x3 3 xC + x² 3 2 3 2 8 y=-x2+3x --(-3-3)+(-3+6)=31 PRACTICE 211 次の曲線, 直線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 (1) y=x²-2x-8のである。 y=x+3(0≦x≦1), y軸, x=1 (2) y=-2x2+4x+6 (4) y=x2-4x+3(0≦x≦5), x=0, x=5

赤線のthatが指している単語はなんですか？？

The invention started in 1995, when the Great Hanshin-Awaji Earthquake struck the Kansai region. After this terrible disaster, the tap water supply completely stopped. Local people waited in long lines every day for clean water to arrive. During this time, Dr. Oda often visited a pond near his home. He said to himself, "If I could clean the water in this big pond, that would make everyone so happy.” He thought and thought about a good solution. One day, looking at the pond, he did hit upon a simple but wonderful idea. Six years later, he finally completed powdered natto that could stick to dirt and make it sink. He immediately founded a new company to sell his powder. Contrary to his high expectations, it was not a hit in Japan.

オレンジの線のa<0という意味が分かりせん。教えてください。

本 例題 90 2次不等式の解から係数決定 00000 (1) xについての2次不等式x+ax+b=0の解がx=-1,3≦xとなる ように, 定数 α, bの値を定めよ。 (2)についての2次不等式 ax²-2x+b>0の解が2<x<1となるよ うに,定数α, bの値を定めよ。 CHART & SOLUTION 2次不等式の解から係数決定 2次関数のグラフから読み取る (1) y=x2+ax+b のグラフが x≦1,3≦x のときだけ軸を含む上側にある。 ⇔下に凸の放物線で2点 (-10) (30) 通る。 (2) y=ax²-2x+b のグラフが-2<x<1のときだけx軸の上側にある。 ⇔上に凸の放物線で2点 (-2, 0, 1, 0) を通る。 解答 (1) 条件から, 2次関数 y=x2+ax+b のグラフは,x≦-1, 3≦x のときだ けx軸を含む上側にある。 すなわち, 下に凸の放物線で2点 (10)(30) を通るから 13 基本 87 1-a+6=0, 9+3a+b=0 これを解いて a=-2,b=-3 (2)条件から, 2次関数y=ax²-2x+b のグラフは,-2<x<1のときだけx 軸の上側にある。 すなわち, 上に凸の放物線で2点 (-20) (10) を通るから a<0. 0 = 4a+4+6 ① 0=a-2+6 ② ① ② を解いて a=-2,6=4 これは α<0 を満たす。 1 別解 (1) x13≦xを 解とする2次不等式の1つ は (x+1)(x-3)≧0 左辺を展開して x²-2x-3≧0 x2の係数は1であるから x2+ax+b≧0 の係数と」 較して α=-2,b=-3 lint. 2つの2次不等式 ax2+bx+c<0と a'x + b'x+c<0 の解 等しいからといって直 にa=d', b=b',c=d とするのは誤りである。 対応する3つの係数の X 少なくとも1つが等し きに限って、残りの係 等しいといえる。例え c=cであるならば、 a=d', b=b'といえ

なんでこれからこれになるのでしょうか

0000 324 基本 例題 207 定積分を含む関数(定数型) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1)f(x)=3x-x+S_f(t)dt (2) f(x)=2x2+1+Jxf(t)at CHART & SOLUTION p.320 基本事項 3.基本 定積分の扱い Sof(t) dt は定数文字でおき換え 定積分を計算しようとしても, f(t)は不明なので,直接計算することができない。 Sf(t) dt は定数であることに着目する。 (1)Sf(t)dt=a(定数) とおくと,f(x)=3x-x+αと表されるから, St-t+a)dt=aである。この定積分を計算してαの値を求める。 (2) Sxf(t)dt→ xtに無関係で定数xff(t)dt (1) と同様に処理。 そこで S_f(t)dt=a とおくと f(x)=3x²-x+a t S_f(t)dt の値はわから よってSf(t)dt=S(312-t+a)dt ないが、定数である。 =2f(312+a)dt 2 =2[at]=2(1+α) 奇数 0 ゆえに 2 (1+α)=a よって a=-2 したがって f(x)=3x²-x-2 (2)f(t) dt=a とおくと f(x)=2x2+ax+1 よってS's(n)=S,(2p+at+1)=1/2/31+1/21+10 ゆえに 1/24 1/2=4 a 5 + Fa 3 よってa=10 Sexf(t)dt のxは、 変数 tに無関係である から,定数として扱う。 すなわち Sxs(tat=x$sta したがって f(x)=2x²+10x+1 PRACTICE 207Ⓡ 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1) f(x)=2x²+xff(t)dt (2) 基本 (1) (2) CHA 定 S (2) fore (1 (2

相加・相乗平均使わなきゃ！って頭になれないのですが、どういう場合に相加・相乗平均を使うのでしょうか？

240 重要 例題 150 指数関数の最大・最小 (2) 開 y=9*+9-x-31+31 +2 について (1) t=3* +3 x とおいて,yをtの式で表せ。 (2)yの最小値と,そのときのxの値を求めよ。 CHART & SOLUTION astaxata の関数の最大・最小 おき換え [a*+αx=t] でもの関数へ 変域に注意 (1)x2+y=(x+y)²-2xy を利用して, 9 +9-x を tで表す。 基本 144 1 (2)tの変域は,30,30 であるから, (相加平均)≧(相乗平均) を利用して求めるこ とができる。 yはtの2次式で表され, 2次関数の最大・最小の問題に帰着。 (1) y=9*+9x-(31+x+31-x) +2 ここで 重要 4x-a の値の CHAL 指数 おき 2x=t 正の姿 から, 数学 9x+9-x=(3*)2+(3-x)2=(3+3-x)2-2・3・3-x a²+a² 2x= =(3+3-x)2-2=f2-2 31+x+31-x=3(3x+3-x) =3t よって y=t-2-3t+2 ① (2)30,3x>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小 関係により積一定 和の最小(最大)を ゆえに y=t2-3t (1)の求めるときに使用 =(a+a12-200 4x= =(a+a12-2 ①C t> t> t> (相加平均) ≧ (相乗平均 ゆ a>0,6>0 のとき 3*+3-x=2√3% 3 = 2 すなわち t≧2 a+b ② 等号は,3=3* すなわち x = - x から x=0のとき成 り立つ。 2 a=b のとき等号成立 [1 ①から 32 ≧2 の範囲において, yは t=2 で最小値 -2をとる。 [2 y=f2-3t (t≧2) 2次式は基本形に変 [3 inf. t=3*+3* のグラ 3 t=3+3 22 t t=2のとき, ② から x = 0 よって, yは x=0で最小値-2 をとる。 PRACTICE 150Ⓡ y=22x+2-2x-3(2x+2m)| (1) 最小 g 301 t=3 F=3+ F

物理　分散の範囲です。 全体の流れは理解できるのですが、角COHがなぜα／2になるかがわかりません。（右ページ四行目） 教えてくれたら幸いです🙇‍♂️🙇‍♂️

Solution 23-1 フレネルの複プリズム 類題 設問 (1) で示した, 頂角がαの薄いプリズムでの偏角βが入射方向に依存しないとした三角プリズムを仮想すれば,スネ されたい。 解説の参照においても,あくまで方針のみを参考にし, 考察し、 自分で レンズの光学特性の説明にも用いることができる. 例題形式で作問したので奮ルの法則の観点からレンズでの屈折光と 動かすこと. 読んでいるだけでは何も自分のものにならない. 問題: Invitation Card23-1 類題 レンズの光学特性の導出 |等しくなる. このプリズムの頂角をαと すれば,∠COH = 1/2なので,直角三角 2 形COHに注目し, α h 図のように極めて薄い凸レンズによって作られる, 点Aの像Bについて考える sin == R レンズの曲率円 R C D 2点は光軸上にあり, 凸レンズからの距離をそれぞれa, b とする.特にAからレンズが薄ければ、この仮想三角プリズ じ,光軸から高さんのレンズ上の点Cで入射し,点Dで出射してBに至る光路に 注目する. レンズは極めて薄いためCD間の高度変化は無視できるものとして い。レンズの屈折率をn,曲率半径をとし,んはa,b,およびRに比べて 分小さい. 小さい角度zについては, sinz tanzzを用いてよい . ムも薄いので頂角αは極めて小さいので, H a h AF 2 R α= 2h R 仮想プリズム 図 1 凸レンズ 2 このプリズムの振れ角 β = (n-1)αに等しいレンズの振れ角は, 光経路 CAD h A B A→C→D→Bにおいて幾何的にも定まることから,βa, b, んで表し, レ ンズ公式の表式を得る. -光軸 b 点CおよびDでの屈折を薄い三角プリズムでの屈折に対応させることにより、 レンズ公式 : 1 11 +-= a b f 図2のように, ∠CAB=0, ∠DBA = と おく。 レンズは極めて薄いとあるから, AC 水 平距離はα, BD 水平距離はもとしてしまって 良いだろう(厳密にはレンズ中心からの距離). h h このとき, tan= E C B TD h ↓ a b→ + tan = に対応する式を見出し, このレンズの焦点距離の値を導け. =1/5であり、ん 2 a h に比べ極めて小さいことから,とは微小角なので, 近似的に, 0, h ・ミ a b 方針1 レンズ上の点CおよびDでの2度の屈折が三角プリズムでの屈折と見なせるよ うに仮想三角プリズムを作図し, その頂角αを幾何条件からレンズの曲率半径R と入射高度んで表す. と書ける.図2のように, 線分ACとBDを延長した交点をEとすれば、 三角形AEBの 角Eの外角がレンズの振れ角βであるため、 h = +- a h b =(n-1) 27 2h 1 1 2(n-1) + R ゆえにこのレンズの焦点距離は,f= R であることがわかる. a b R 2(n-1) 図1のように,レンズ左球面の曲率中心をO,点Cから光軸に下ろした垂線の足を とする.CおよびDにおいて接線(厳密には球面との接面)を引き、それらの交点を頂 1 1 2(n-1) R レンズ公式に対応する式:-+ = a b R 焦点距離 f= 2(n-1) 7

(1)の解答の1行目のan-5を分母分子に掛ける作業なのですが、an-5が0でないという確証はないのに欠けていいんですか？

重要 例題 39 分数型の漸化式 (2) 00000 α=1, an+1= an-9 an-5 で定められる数列{a} がある。 (1) bn= 1 an-3 とおくとき,n+1 を bn で表せ。 ただし, すべての自然数n に対して an≠3 である。 (2)一般項 αを求めよ。 CHART & SOLUTION 分数型の漸化式 おき換えを利用 (1) bx+1 bm で表すことが目標。 b=- のnをn+1とした 基本 33 an-3 bx+1= 1 an+1-3 からスタートする。 まずは, an+1= an-9 an-5 を用いて, bm+1 を で表し, 最終的にbm= を用いて b+1 を6m で表す。 an-3 解答 (1) ba+1= 1 an-5 an+1-3 an-9 -3 an-9-3(an-5) tan+1= an-9 a-5 an-5 an-5 1 an-5 =- 2-an-3 -2an+6 1. (a,-3)-2__1(1-23) an-3 2 11 + 2 an-3 ゆえに b₁= bn+1=b-12 = (2)-1/2 であるから よって a₁-3 bn=- 2 an=3+- 17 bn =3- 2 n Jei 分数式 an-5 a-3 (分子の次数) は (分母の次数) となるように変形する。 an-3 = b が現れた。 |=1 数列{6} は, 初項- 公差 12 等差数