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要 例題 22 漸化式と極限 (はさみうち
00000
0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2,3,.....) によって定められる数列
{a}について,次の(1),(2),(3) を示せ。
[類 神戸大 ]
J
(
(1) 0<an<3
(2)3-an+1<-
+1<1/12 (3-am)
(3) liman=3
81U
p.33 基本事項 3 基本15
CHART & THINKING
求めにくい極限 はさみうちの原理を利用
漸化式を変形して, 一般項 αn をnの式で表すのは難しい。 小問ごとに,どのような方針を
とればよいのか考えてみよう。
(1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。 そのために、 何
を仮定すればよいだろうか?
(2) (1)の結果を利用。与えられた漸化式をどのように使えばよいか考えてみよう。
(3)(1),(2)で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を用いる。 数列{3-4㎡} の極限を
求めればよい。
liman= limb = α ならば lim Cm =α
7210
1218
71100
この不等式の
明のときは
はさみうちの原理 すべての自然数nについて ≧≦b のとき
学的帰
法が
t
(2)の不等式は繰り返し用いる。 どのように利用すればよいか考えてみよう。
解答
(1) 0<an<3 •••••• ・① とする。
[1] n=1 のとき, 条件から 0<α <3 が成り立つ。
[2] n=k のとき, ①が成り立つと仮定すると
0<ak<3
n=k+1 のとき
3-ak+1=3-(1+√1+ax)=2-√1+ak
ここで, 0<ak<3 の仮定から 1 <1+ak<4
ゆえに 1<√1+αk <2
よって, 2-√1+α 0 であるから
ささ
3-ak+10 すなわち ak+1 <3
1
数学的帰納法で示す。
+1 のときも
0 < ak+1 <3 すなわち
k+1 かつ ak+1 <3
が成り立つことを示す。
また、漸化式の形から明らかに 0<ak+1
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ゆえに, 0<ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は
成り立つ。
(2) 3-αn+1=3-(1+√1+an)=2-√1+an
[1], [2] から, すべての自然数nに対して ①が成り立つ。
(2-√1+αn)(2+√1+an)_4-(1+αn)
漸化式から。
◆分子を有理化。
2+√1+an
2+√1+an
1
-(3-an)
②
← 3-α+1 と同形の3
2+√1+an
が現れる。
