めよ。
a-1
1
3 [2011 札幌医科大]
a, bを実数とし, x に関する方程式
cos2x + acosx+b=0
を考える。この方程式が0≦x<2πの範囲で,ちょうど2個の異なる実数解をもつための
a, b に関する条件を求めよ。
[解答
cos2x + acosx+b=0
よって
******
①から (2cos²x-1) +acosx+b=0
2cos2x+acosx+b-1=0
cosx=t とおくと
2t2+at+6-1=0
(2)
0≦x<2πの範囲において, 方程式 cosx=tの実数解の個数は
-1<t<1のとき 2個, t=-1, 1のとき 1個, t<-1, 1<t のとき 0個
したがって, ①0≦x<2πの範囲に2個の異なる実数解をもつための条件は,次の
[1]~[3] のいずれかが成り立つことである。
[2] のとき
[1] ② がt=-1,1の2個の解をもつ。
[2] ② が, −1 <t<1の範囲と, t<-1, 1 <t の範囲にそれぞれ1個ずつ解をもつ。
[3] ②−1 <t<1の範囲に2重解をもつ。
f(t)=2t2+at+6-1 とおく。
[1] のとき
f(-1) = 0, f(1) = 0 から
これを解くと a=0、b=-1
f(-1)-f(1) <0
- a+b+1=0,
よって
(-a+6+1)(a+b+1) < 0
[3] のとき
②の判別式をDとすると
ここで D=a²-4-2-(b-1)=a²-8b+8
よって
D=0
a +6+1 = 0
a²-8b+8=0 すなわち b=1/2302+1
a²+1
さらに,このとき, ② の重解t=-
=-2 が-1<x<1の範囲にあるから 4<a<4
したがって、求める条件は
「a=0 かつ b=-1」 または 「(-a+b+1)a+b+1) <0」
1
または 「−4 <a < 4 かつ b = = a²+1」
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