2番が難しいです

問 26 剰余の定理 (III) (1) 整式P(x) をx-1, x-2, x-3でわったときの余りが、そ れぞれ6, 14, 26であるとき, P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で わったときの余りを求めよ. (2)整式P(z) を (x-1)2 でわると, 2x-1余り, x-2でわると 5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ。 |精講 (1) 25 で考えたように,余りはax2+bx+c とおけます。 あとは a,b,c に関する連立方程式を作れば終わりです。 しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんで そこで,25の考え方を利用すると負担が軽くなります. (2) 余りをax2+bx+cとおいてもP(1) P(2) しかないので, 未知数3つ。 等式2つの形になり。 答はでてきません。 解答 (1) 求める余りはar' +bx+cとおけるので, 3次式でわった余り P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax2+bx+c は2次以下 と表せる. P(1)=6,P(2)=14,P(3) =26 だから, [a+b+c=6 ・① 4a+26+c=14 ・② 9a+36+c=26 ...3 2 | 連立方程式を作る - ① ① ② ③より, a=2, 6=2,c=2 よって, 求める余りは 2x2+2x+2 参 注 2500 の考え方を利用すると、次のような解答ができます。 (別解) P(x)=(x-1)(x-2) (x-3)(

(2)の印つけている所から分かりません。なぜP(-4)=-4が分かるのでしょうか？🥲

48─数学Ⅱ ②55 練習 (1) 多項式 P(x) をx+2で割った余りが3, x-3で割った余りが-1のとき, xx-6で割った余りを求めよ。 (x) [立教大) (2) 多項式P(x) を x+5x+4で割ると2x+4余り, x2+x-2で割ると-x+2 余るという。 このとき,P(x)をx+6x+8で割った余りを求めよ。 (1) P(x) を x-x-6 すなわち (x+2) (x-3)で割ったときの商 をQ(x), 余りをax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+2)(x-3)Q(x)+ax+b 条件からP(-2)=3,P(3)=-1 [ 東京電機大 ] ←2次式で割った余りは、 1次式または定数。 ←剰余の定理。 8m P(-2)=3から P(3)=-1から -2a+b=3 ① 3a+b=-1・ ②- 17 4 70-30-= ① ②を連立して解くと b= 5 5 よって、求める余りは1/2x+27/ 5 4 = ②から P(x)=(x+1)(x+4)Qi(x) +2x+4 P(x)=(x-1)(x+2)Qz(x)-x+2 P(-4)=-4 -4a+b=-4: ④ P(-2)=4 (2) P(x) を x2+6x+ 8 すなわち (x+2)(x+4) で割ったときの 商をQ(x),余りを ax + b とすると,次の等式が成り立つ。 a) (sto). P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+ax+b ...... ① また,P(x) を x2+5x+4,x²+x-2 すなわち (x+1)(x+4) (x-1)(x+2) で割ったときの商をそれぞれQi(x),Qz(x) とす ると、次の等式が成り立つ。 ← 2次式で割った余りは、 1次式または定数。 ,0>D Jeb こ ② ..... (3) これと①から -)(e,&- ③から これと①から -2a+b=4 ⑤ ④ ⑤を連立して解くと a=4,6=12 したがって, 求める余りは 4x+12 2 ** ←x+4=0の解は x=-4 ←x+2=0の解は x=-2 A

私が解いているのはpracticeなのですが、 基本例題で用いた方法は利用できなくて、、、 どのように答えを求めたら良いですか？？ 分かる方教えてください！🙇‍♀️

基 例題 55 高次式の値(割り算を利用して次数を下げる) P(x)=x+3x2+x+2について,次の問いに答えよ。 (1) x=-1+i のとき, x2+2x+2=0 であることを証明せよ。 2 P(x) を x2+2x+2で割った商と余りを求めよ。 5. (3) P(-1+i) の値を求めよ。 ③ 基本 10 基本 60 CHART & THINKING (1)(2)(3)のヒント (3)でP(-1+i) の値を求めるのに, x= -1 + i を直接代入すると計算が煩雑。 そこで,(1),(2) をヒントとして利用しよう。 (2)で求めた商Q(x) と余り ax +6 を用いると, 割り算の基本公式から P(x)=(x2+2x+2)Q(x)+ax+b となる。ここで, (1) の結果をどのように利用すればよいだろうか? りをそれ りを考え 割った余 の多項 る。 R を代 解答 うしの (1) x=-1+i から x+1=i 両辺を2乗して これを整理して (x+1)=-1 x2+2x+2=0 2章 8 剰余の定理と因数 x +1 x2+2x+2)x+3x2+ x +2 ◆iを消去。 (3) P(x)の次数を順次下 げていく方法もある。 x2+2x+2=0 から x2=-2x-2 よって P(x)=x.x2+3x²+x+2 =x(-2x-2) +3(-2x-2)+x+2 =-2x2-7x4 別解 x=-1+iのとき x2+2x+2=(-1+i)+2(-1+i)+2 =1-2i+i-2+2i+2 =1-1=0 (2)右の計算から 商 x+1 x+2x2+2x 余り 3x x2-x+2 (3)(2)から x2+2x+2 P(x)=(x2+2x+2)(x+1)-3x 0=-3x これに x=-1+i を代入すると, (1) の結果から P(-1+i)=0-3(-1+i) =3-3i =-2(-2x-2)-7x-4 =-3x ← (1) から x=1+iのと きx2+2x+2=0 INFORMATION 虚数単位を消去するための工夫 入試などでは, (3) だけが単独で出題されることも多い。 そういう場合も遠回りに感じ るかもしれないが, x+1=iと変形して両辺を2乗すると, (1) の形のように虚数単位 がなくなり実数係数の2次方程式となるので,計算がスムーズになる。 RACTICE 55 P(x)=3x3-8x²+x+7 のとき,P(1-√2i) の値を求めよ。

この考え方で解くと、文字を消去するときに2つ一気に消えてしまって、代入が出来ません🥲 考え方？と計算過程を教えてください！ どなたかわかる方お願いします！！🙇‍♀️

多項式P(x) を x-2で割ると余りは13, (x+1)(x+2) で割ると余りは 10x-3 になる。このときP(x) を (x+1)(x-2)(x+2) (x-2)(x+2) で割った余りをそれ ぞれ求めよ。 [類 南山大〕

多項式の割り算の(ア)を解いてみて、 手書きの解答でいうところの ③を使って解くと剰余の定理を使ってもあまりが出ません。 しかし④を使うと値が出ます。 私は計算し終わるまで気づけませんでしたが、 どこで気づいて④を使う解き方をすると判断すればよかったんでしょうか？

6 多項式の割り算/2つの余りの条件 (ア) 整式f(x)は1で割ると余りが3である。また,f(x)を 4+5である。このとき,f(x)をュー1で割ったときの余りを求めよ (イ) 整式(x)を4x+3で割ったときの余りは+1であり、 +1で割ると余りが (関西大 総合情報) 3+2で割ったときの余 りは3-1である。「f(x)を6ェ”+11エー6で割ったときの余りを求めよ。 2つ目の条件の反映させ方 (秋田大 医) (ア)のように、2つの余りの条件がある場合,それらの割る式を掛け合 わせた式で割ったときの余りを求めることが多い。 (ア)を例にして説明しよう。 一方の余りの条件(割 る式の次数の高い方: いまは+x+1) の商をA(x) とおくと, f(x)=(x+1)A (g) +4x+5... と表せる。いま、f(x)を1=(x-1)(x+x+1)で 割った余りを求めたい。そこで,-1が現れるように,A(x)をェー1で割ることを考える.A(ェ)を ェー1で割った商をB(x), 余りをrとして,A(z)=(x-1)(x)+rとおきに代入する。この式 に対して,もう一方の余りの条件を反映させてを求めれば,-1で割った余りが分かる。 解答 (ア) f(x) = (x²+x+1)A(x)+4x+5 スートを開けん (3)f()=(x-1)Q(+3 (1)Q(+12+ A):151-1)Q3(2)+C ←前文参照。 ↓ A(x)=(x-1)B(x) +r と表せるから,f(x)=(x'+x+1){(x-1)B(x)+r}+4r+5 =(-1)(x)+r(エ2+x+1)+4x+5 ･･① f(x) をェ-1で割ると余りが3であるから, 剰余の定理により,f(1) 3 ①に=1 を代入して,f(1)=3+9 .. 3ヶ+9=3 :.r=-2 したがって, ① により, 求める余りは, Q)=(Amith Q2(2)=(2-1)B(42 f(x) をx-1で割った余りは2 次以下になるが, ①により. f(x) をー1で割った余りが (x'+x+1)+4 +5であるこ とが分かる. あとはを求めれ ばよい。 -2(x2+x+1)+4+5=-2x'+2x+3 (イ)-4x+3=(x-1)(x-3), 2-3x+2=(x-1)(x-2), x³-6x²+11x-6-(x-1) (r2-5x+6)=(x-1)(x-2) (x-3) であることに注意する. f(x) を4x+3で割った余りが+1である。商を A(x) とおくと,f(x)=(-1)(x-3)A(エ)+1 ここで,A(z)=(x-2)B(エ)+rと表せ,これを①に代入して f(x)=(x-1)(x-3){(x-2)B(x)+r}+x+1 一方, f(x) を2-3+2で割った余りが3x-1であるから, f(x) = (x-1)(x-2) Q (エ)+3r-1 と表せる。式に2を代入して,f(2)=5.②にx=2を代入して, ..-r+3=5 f(2) =-r+3 ..r=-2 ②から,f(x)=(x-1)(2)(3)B (ェ)-2(-1)(x-3)+1 wwwwwwwwwwwwwwwwwww したがって、求める余りは, =-2x2+9x-5 06 演習題(解答は p.26) -6211-6にェ=1を代入 すると0になるから, 因数定理に よりェー1で割り切れる (次章の 4 を参照). A (x) をェー2で割った商が B(x), 余りが (1次式で割った から,余りは定数). rを求めるには,②でB(ェ) が消 えてが残るェ=2に着目。 (1)f(x)=(2-3)Q(13 f=(2-2)(1)(2)+320-1 f=(23622-112-6)Q)(2) (1)(2)(3) Q1(2)(x-2) Ath Q2(x)=(7-3)B()+12 (ア) 整式P(x) を (エー)”で割ると1余り、エー2で割ると2余る。このとき,P(エ) (1)(2)で割ったときの余りR(x) を求めなさい。 (兵庫県立大・社会情報-中) (イ)整式Aを2で割ると余りが+3+1でありー4で割ると余りが +1である。このときを ++4で割ると余りはである。 (イ)の前半は, 03 の演 +2で割ると余りはであり,Aを (南山大 数理情報 ) 題(イ)と同様である。 13

解き方教えてください！ 答えは二枚目の写真に載ってあります！

多項式 P(x) を (x+2)^ で割ったときの余りが x+3 であり、 x+4で割ったときの余りが -3 である。このとき、 P(x) を (x+2) (x+4) で割った余りが ax2+bx+c (a, b, cは定数) となった。 (1) P(-2) および P(-4) の値をそれぞれ求めよ。 \ (2) ax2+bx+c を (x+2)2で割った余りを求めよ。 (3) 定数a, b, c の値を求めよ。

棒線の部分の意味がなんでそうなるんかわからないです、助けてください💦

228 多項式P(x) を x-1で割ると2余り, x+x+2で割ると-3x+1余るとき, P(x) を (x-1)(x2+x+2) で割ったときの余りを求めよ。

剰余の定理についてですが、右下のポイントにある、「fxをgxhxで割った余りとRxをgxで割った余りは等しい」というのはなぜでしょうか？ 今まで理屈は考えずに暗記していたため、この定理を用いた問題に出会った時に対応できませんでした。 回答お願いします。

第2章 基礎問 44 第2章 複素数と方程式 26 剰余の定理 (III) (1) 整式P(z) を-1, r2, æ-3でわったときの余りが,そ れぞれ 6, 14, 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) で わったときの余りを求めよ. (2) 整式 P(x) を (x-1)でわると, 2-1余り, -2でわると 5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ. 精講 (1) 25 で考えたように、余りはax2+bx+cとおけます. あとは, a, b, c に関する連立方程式を作れば終わりです。 しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです. そこで250の考え方を利用すると負担が軽くなります。 (2) 余りをax2+bx+c とおいても P(1) P(2) しかないので,未知数3つ, 等式2つの形になり, 答はでてきません。 解答 .. .. :. -2a-2b+26=6 .-2a-6+26=14 [a+b-10=0 2a+b-12=0 a=2,b=8 よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26 =2x2+2x+2 注 (別解)のポイントの部分は,P(3)=R(3) となることからもわ かります. (2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR (z) (2次以下の整式) と おくと,P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+R(x) と表せる. ところが,P(z) は (x-1) でわると2-1余るので,R(x) も (x-1)^ でわると2x-1余る. よって, R(z)=a(x-1)2+2x-1とおける. ∴. P(x)=(x-1)(x-2)Q(z)+α(x-1)^+2x-1 P(2) =5 だから, a+3=5 . a=2 よって, 求める余りは, 2(x-1)2+2x-1 すなわち, 2x²-2x+1 3次式でわった余り ポイント (1) 求める余りはar' +bx+c とおけるので, P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(z)+ar'+bx+c は2次以下 と表せる. P(1)=6,P(2)=14,P(3) = 26 だから, [a+b+c=6 ......① 4a+26+c=14 ...... ② 連立方程式を作る f(x)をg(x)h(x) でわったときの余りをR(x) とす ると f(x)をg(x) でわった余りと R(x)をg(z) でわった余りは等しい (h(x) についても同様のことがいえる) 45 19a+36+c=26 ...... ③ ① ② ③より, a=2, 6=2,c=2 よって, 求める余りは 2x'+2x+2 注25 の考え方を利用すると、次のような解答ができます。 (別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(z) P(x) はx-3でわると26余るので (R(x)は2次以下の整式) R(x) もェ-3でわると 26余る. <ポイント Barn Score 36x-37 CS よっと P(1)=6,P(2)=14 より,R(1)=6, R(2)=14 わったときの商 演習問題 26 (1) 整式P(x) をx+1, x-1, x+2でわると, それぞれ 3, 7, 4余る. このとき,整式P(z) を (x+1)(x-1)(x+2) でわったときの余 りを求めよ. (2)整式P(x) を (x+1)2でわった余りが2x+1, -1でわった余 りが1のとき, 整式P(z) を (x+1)2(x-1)でわった余りを求 めよ.

剰余の定理の問題です。 緑ラインが引いているところで、(x-1)二乗はどこから割り切れることがわかったのでしょうか? 教えていただきたいです。

Exercise 74 整式P(x) は (x-1)2で割ると5x-7余り, x-2で割ると10余る。 P(x) を (x-1)2(x-2) で割った ときの余りを求めよ。 [解] P(x) をx2で割ると10余ることから P(2) =10 ・・・ P(x) を (x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x) とし 余りは2次以下の整式であるから ax +bx+c とおくと P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax²+bx+c x=2 を代入すると,① より 4a+26+c=10 *** また,P(x) を (x-1)2で割った余りは、 (x-1)^(x-2)Q(x)が(x-1)^ で割り切れることより, ax2+bx+cを (x-1)^ で割った余りに等しい。 a (山梨大) 実際に割ると余りは (2a+b)x-a+c となり,これが5x-7に等しいことから 2a+b=5 (3) -a+c=-7 ･･･ ② ③ ④ より a=7,6=-9c=0 よって, 求める余りは x9x x²-2x+1) ax2 +bx +c ax2 -2ax (2a+b)x-a+c ta

この問題の解き方が分からないです。 答えは-5です。解説お願いします、 （剰余の定理があまり理解出来てないので、解けないのが現状です。）

(5) 多項式P(x)をx+3x-10で割ると2x+5余る。 このとき,P(x) をx+5で割った余りは、 である。