Question

かずき

2番が難しいです

問
26 剰余の定理 (III)
(1) 整式P(x) をx-1, x-2, x-3でわったときの余りが、そ
れぞれ6, 14, 26であるとき, P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で
わったときの余りを求めよ.
(2)整式P(z) を (x-1)2 でわると, 2x-1余り, x-2でわると
5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ。
|精講
(1) 25 で考えたように,余りはax2+bx+c とおけます。 あとは
a,b,c に関する連立方程式を作れば終わりです。
しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんで
そこで,25の考え方を利用すると負担が軽くなります.
(2) 余りをax2+bx+cとおいてもP(1) P(2) しかないので, 未知数3つ。
等式2つの形になり。 答はでてきません。
解答
(1) 求める余りはar' +bx+cとおけるので,
3次式でわった余り
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax2+bx+c は2次以下
と表せる.
P(1)=6,P(2)=14,P(3) =26 だから,
[a+b+c=6
・①
4a+26+c=14
・②
9a+36+c=26 ...3
2
| 連立方程式を作る
-
①
① ② ③より, a=2, 6=2,c=2
よって, 求める余りは 2x2+2x+2
参
注 2500 の考え方を利用すると、次のような解答ができます。
(別解) P(x)=(x-1)(x-2) (x-3)(

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

条件よりP(x)は実数a,b,cと整式Q(x)を用いて、
P(x)=(x-1)²(x-2)Q(x)+ax²+bx+c･･･①
と表せる。
x=1のとき、
P(1)=a+b+cとなり、仮定より
P(1)=2×1-1=1なので
a+b+c=1･･･②が成り立つ。
次にx=2のとき
P(2)=4a+2b+cとなり、仮定より
P(2)=5なので
4a+2b+c=5･･･③が成り立つ。
次に①の両辺を微分する。
P'(x)
=2(x-1)(x-2)Q(x)+(x-1)²{Q(x)+(x-2)Q'(x)}+2ax+b
=(x-1){2(x-2)Q(x)+(x-1)Q(x)+(x-1)(x-2)Q'(x)}+2ax+b
x=1のとき
P'(1)=2a+bとなり、仮定より
P'(1)=(2x-1)'=2より
2a+b=2･･･④が成り立つ。
以上②,③,④から
③-②より
3a+b=4･･･⑤
⑤-④より
a=2
これを④に代入すると、
4+b=2
b=-2
a=2、b=-2を①に代入するとc=1
よってP(x)を(x-1)²(x+2)で割った余りは
2x²-2x+1