Question

こん

解説がよく分からないです。
場合分けするとことかです

139
(1)自然数とする. 不等式
SAL
y≤2n², y≥ 1½ x², x≥0
を同時に満たす整数の組 (x, y) の個数を求めよ.
(2)を自然数とする.不等式
y≥0, y≤√x, 0 ≤ x ≤ n²
を同時に満たす整数の組 (x, y) の個数を求めよ.
(お茶の水女子大)

139
〈方針>-
条件を満たす組 (x,y) を xy 平面上
点(x,y)に対応させて考える.
(1)はy軸に平行な直線上,
(2) はx軸に平行な直線上
の格子点の個数を調べるとよい。
(1)では,y=1/2x2において
=2m²-2k2+2k.
(Ⅱ) 直線x=2k (k=0, 1, ...,
点の個数について
n) 上の格子
x=2kのとき,
y= x²
=1/2(2k)2
=2k2
xが偶数のとき,y は整数,
xが奇数のとき, は整数でない
ことに注意.
となるから,この直線上の格子点は
(2k, 2k²),, (2k, 2n²)
であり,その個数は,
2n2-2k2+1.
xy 平面上の点で,x 座標, y 座標のいず
れも整数である点を格子点と呼ぶ.
(1)条件の不等式の表すxy 平面上の領域 D
は次図の網掛け部分(境界を含む).
(i), (ii)より,求める整数の組 (x, y) の個
数は,
n
y
(2k, 2n²) y=-
=1/2x2
k=1
22 (2k-1,2m²)
D
(2k-1,2k2-2k+1)
(2n²-2k²+2k) + (2n²-2k²+1)
=(2n²-2k²+2k)
=
(2k, 2k²)
2k-1, 2k2-2k+
2
0
x=2k-1x=2k
x
2n
領域 D に属する格子点の個数を求める .
(i) 直線 x=2k-1 (k=1, 2,...,n) 上の
格子点の個数について.
x=2k-1 のとき,
y=-
-(2k-1)
=2k2-2k+-
となるから、この直線上の格子点は
(2k-1, 2k²-2k+1), …, (2k-1, 2n²)
であり、その個数は,
2n2-(2k2-2k+1)+1
k=0
+(2n²+1+2(2n²-2k²+1)}
(k=0
のとき
{(2m²-2k²+2k)+(2n²-2k2+1)}
+2m²+1
=Σ(4n²−4k²+2k+1)+2n²+1
n
n
=-4k²+2k+(4n²+1)Σ1
k=1
+2n²+1
k=1
=-4.1/gn(n+1)(2n+1)+2・1/2n(n+1)
+(4m²+1)n+2n²+1
=(8n³+3n²+4n+3).
(2) 条件の不等式の表す xy 平面上の領域
D'は次図の網掛け部分(境界を含む).