命題と証明の分野についての質問です。 対偶、背理法を用いた証明問題を解いてる時の疑問なんですけどどう使い分けたらいいんでしょう。 回答では対偶を使っていても背理法を使うことができるのではと思う問題もあります。

この問題が解説を見ても分かりません（ ; ; ） 考え方を教えてください

した証明(2) V2 が無理数の証明 基礎例題 57 基礎例題56 OO0 V2 は無理数であることを,背理法を用いて証明せよ。ただし,整数 n につ いて,n°が偶数ならばnは偶数であることを用いてよい。 CHART Q GUIDE) 証明の問題 直接も対偶利用もだめなら 背理法 3章 3One ロ 背理法で、前ページの例題 56 と同様に /2=r (rは有理数) とおいてもうまくいか ない。そこで,ここでは 9 約分できる数を除外するため。 m V2 = (m, nは1以外の正の公約数をもたない自然数) とおく。 n この等式の両辺を2乗して, 矛盾を導く。 2>0であるから, 自然数とした。 無理 田解答田 2 が無理数でない, すなわち V2 が有理数であると仮定する。 。 無適 このとき,/2は, 1以外の正の公約数をもたない自然数 m, n 定する 49, ! 一有理数とは,整数 a, b (6キ0) を用いてーの形 のを用いて V2- m と表される。 で表される数のこと。 参考 2つの整数 i,jの 最大公約数が1のとき,i とjは互いに素であると いう(数学A参照)。 n 積」 のから m=V2n 両辺を2乗すると m°=2n° .… 日 よって, m’ は偶数であるから, mも偶数である。 一キxS ゆえに,m はkを自然数として m=2k 3を2に代入すると ゆえに,n° は偶数であるから, nも偶数である。 m とnがともに偶数となることは, mとnが1以外の正の公約 数をもたないことに矛盾する。 よって,V2 は無理数である。 3 と表される。 4k°=2n° よって n=2k° ←mとnが2を公約数と してもつことになる。 Lecture 「nが偶数(奇数)ならばnは偶数(奇数)」 「n°が偶数ならばn は偶数」 実際,Aの対偶は nが奇数ならば n=2k+1 (kは整数)と表され よって,n°は奇数であるから, ④の対偶は真である。 また,のの逆「n が偶数ならばn'は偶数」も真である。 同様に,「n°が奇数ならばnは奇数」やその逆「nが奇数ならば n'は奇数」 も真である。 これらの事実は覚えておくとよい。 Aは,この命題の対偶を考えると証明できる。 の この大 n°=4k°+4k+1=2(2k°+2k)+1 -2°+2kは整数であるから, 2(2k°+2k)+1 は奇数。 「nが奇数ならばn'は奇数」 EY 57° /3は無理数であることを証明せよ。ただし, 整数 n について, n° が3の 【類富山県大,北星学園大) 倍数ならばnは3の倍数であることを用いてよい。 |命題と証明

a,b,c,dが有理数のとき、a+b√5=c+d√5ならばa=cかつb=dである。 このことを√5が無理数であることを用いて背理法で証明せよ。 この問題をお願いします！！

この回答でいいですかね？ めちゃくちゃトンチンカンな答え書いてる気がする…

( )組( )番 名前( 20|3. 命題と証明 練習18 nは整数とする。次の命題を証明せよ。 n?が奇数ならば, nは奇数である。 対例 「んが価教なラばルは価教でなる」 2こ n =2k (kは整察)と表とう れ? (2k)* - テk* ニ = 2 (k^) に?は整数でな 3ためんそは 価数でちる よって対価は真でめン もとの命題も直で努る

指針の1行目は、なぜ、｢a+b√2=0であってａ=0のとき｣ではないのですか？

基本 例題60 有理数と無理数の関係 (1) a, bが有理数のとき, a+6、2=0ならばの=b=0 であることを証明せよ。 ただし,(2 は無理数である。 (2) 等式(2+3/2)x+(1-52)y=13 を満たす有理数 x, yの値を求めよ。 重要53, 基本 58 ((2)奈良大) 指針> a+b/2 =0 であって6=0 のとき,a+0./2 =0からa=0 となるから, 命題「a, 0か有 理数であるとき, a+b/2=0ならば6=0」を証明する。 直接証明するのは難しいから, 背理法 を利用する。具体的には, イ背理法では命題が成り 立たないと仮定して矛 盾を導く。 「a+b、2 =0 であってbキ0 である有理数 a, bがある」 として矛盾を導く(命題の否定は例題 53参照)。 解答

数学IAの命題と証明の問題です。この日の授業を休んでしまい、合っているか分かりません。答えが合っているか確かめて欲しいです。

10 命題と証明 (月 日) 得点 秋/228. 対価「ス}かク=|からばスナ=2」を明する。 とTめつ=1のさ」2ナg=1+パ=2 こて価内真でありッもとの命題も真である。 50 命題「x*+y*キ2ならばxキ1 または yキ1」 が真であることを対偶を考えて証明せよ。 (15点) ( (8-X5-(9 229. nを整数とする。命題「n°が3の倍数でなければ, n は3の倍数でない」 が真である ことを対偶を考えて証明せよ。(15点) 「nがるの倍数であるからはnは 30倍徴である」を証明する。 nが3の作数のとき, nすあん整数を用いて 7=GEと表される。の このとさ h* = (3E)*-9E= 3(3E) Ge*差数であspら, eは 3の他徴である。 ぶて対属は真であり,もとの年題を真である。 230. /6 が無理数である」ことを用いて, 「V3 +V2 が無理数である」 ことを示せ。 教2 リV27 Na tAE が無理飲でないと仮定すると, N店t正は有理数である。 (20点) その有理教をrとすると, NE+NE =rャり (EtAE)+=r2 3+ 26 +2 =r2 25 =r-5 アーア=g 2 とが有理散からば も有理徴であるわら。 この式はFが無理数であることに矛宿る。 レたがって, ぶ+ばは無理数である。 第2章 集合 と 命題 <11

命題と証明で、証明するとき"対偶"と"背理法"どちらを使うべきなのか見分け方ってありますか？

青チャート数1Aです。 採点をしただけると嬉しいです。

101 基本 例題59 V7 が無理数であることの証明 00 V7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, nを自然数とするとき, n?が7の 倍数ならば,nは7の倍数であることを用いてよいものとする。 【類九州大) 基本 58 指針> 無理数であることを 直接証明することは難しい。 そこで, 前ページの例題と同様 ○ 直接がだめなら間接で 背理法 に従い「無理数である」 =「有理数でない」 を, 背理法で証明する。 つまり、7 が有理数(すなわち 既約分数 で表される) と仮定して矛盾を導く。 補 2つの自然数 a, bが1以外に公約数をもたないとき, aとbは 互いに素である 2章 (数学A参照)といい, このとき, は既約分数 である。 b 解答 V7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた a 『ない自然数 a, あを用いて, V7= と表される。 A17 は実数であり, 無理数 でないと仮定しているから, a=/7b a=76° このとき 有理数である。 両辺を2乗すると よって,α'は7の倍数であるから, aも7の倍数である。 ゆえに,cを自然数として, a=7cと表される。 この両辺を2乗すると の, 2 から よって,6°は7の倍数であるから,bも7の倍数である。 ゆえに,aとbは公約数7をもつ。 これは,aとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。 したがって,V7 は無理数である。 の 例題の「ただし書き」 を用 いている。 a°=49c? 76°=49c? すなわち 6=7c?円 これも,「ただし書き」によ る。 検討 上の解答で示した背理法による証明法は,(2, /3 , /5 などが無理数であることの証明にも用 いられる証明法である。この場合 「n°がk(k=2, 3, 5) の倍数であればnも々の倍数である」 ことを利用する。なお, 上の例題文のように, 「(*)を用いてよい」などと書かれていなければ, (*)も証明しておいた方が無難である。 参考 「自然数 nに対し, n°が7の倍数ならば, nは7の倍数である」ことの証明は, p.98 基本 例題 56 と同様にしてできる。 位散でけな)」が真であることを 7命題と証明

数学の問題特に命題と証明などでa≦0またはb≦0というのはどちらか一方が0か0未満の数を取ればbは1などの価をとってもいいんですか？a.bは実数とします。

命題と証明です 下の解答は大丈夫でしょうか、、、 もしダメならその理由をわかりやすく教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️

例題 13 nは整数とする。 次の命題を証明せよ。 n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である。 対偶を証明する。3の倍数でない整数nは, 3k+1, 3k+2(kは整数)のいずれかの 形で表される。 対偶「nが3の倍数でないならば, n°は3の倍数でない」 を証明する。 nが3の倍数でないとき, nはある整数をを用いて3k+1, 3k+2のいずれかで表さ 指針 解答 れる。 [1] n=3k+1 のとき n=(3k+1)°=27k°+27k°+9k+1=3(9k°+9k°+3k)+1 9°+9k°+3k は整数であるから, nは3の倍数でない。 [2] n=3k+2 のとき n=(3k+2)°=27k°+54k°+36k+8=3(9k°+18k°+12k+2)+2 9°+18k?+12k+2は整数であるから, n° は3の倍数でない。 よって,対偶は真である。したがって, もとの命題は真である。 終