数I二次関数の解の存在範囲の問題です 二つ目の問なのですが、解答の矢印の部分がなぜそうなるのか教えてほしいです🙇‍♀️🙇‍♀️

3 2次関数 [2] S a を実数とする。 2次方程式 3² aæ+1=0が異なる2つの実数解をもつようなaの値 の範囲はα<アイ <a である。 3²2-ax+1=0が異なる2つの実数解をもつ とき,そのうちの1つの実数解だけが <x<1の範囲にあるようなaの値の範囲は ウ≦a<エ エであり,実数解が2つとも 1/23 の範囲にあるようなaの値の範囲 イ <a<オである。 2 は ('11 関西学院大 経済, 国際 総合政策・改) 解答解説はp.24へ

（α-3）（β-3）<0のところがわかりません

2次方程式の解の存在範囲 x2 + ax + 2a + 1 = 0 の2つの解を α, β と する.まず, 解と係数の関係より以下が成立 する. a +β=-a aβ = 2a+1 よって, a の満たすべき条件は以下のように変 形できる. 3がaとβの間にある ⇔ (a-3)(β-3) <0 ⇒aß - 3(a +B) +9 <0 ⇔2a+1-3 · (−a)+ 9 < 0 a<-2 以上よりaの満たすべき条件は a < -2 で ある.

どうして私の解答じゃダメなのでしょうか？

Level 2007年度 〔1〕 y=x+h が平面において、放物線y=xをCとする。また、実数kを与えたとき、 で定まる直線を1とする｡ (1) -2<x<2の範囲でCと1が2点で交わるとき, kの満たす条件を求めよ。 () (2) kが1)の条件を満たすとき、Cと1および2直線x=-2, x=2で囲まれた3つの 部分の面積の和Sをkの式で表せ。 - ポイント (1) グラフを利用する解法と, 2次方程式の実数解の存在範囲を考える解法 がある。 前者の解法では,y=x-xとy=kの交点を考える方法,直接Cと1の交点を考え る方法が考えられる。 9 9 11 後者の解法では,-x-k=0の解を考えるが, この解法でも結局y=x²-x-kの グラフを利用することになる。 (2) 3つの部分の面積をそれぞれ定積分で表すが、そのまま計算を進めると計算量が多 くなる。 (x-a) (x-8) dx-(8-) ¹ の利用と式変形の工夫により計算量を少なくする。 解法 1 (1) y=x2, y=x+kより x=x+k すなわち x-x=k よってCとの交点のx座標は,放物線 C' y=x-xと直線l:ykの交点のx座標 に等しい。 y=x²-x=(x-1)² - 1/ で, C'は2点 (2,6), (22) を通り, ' とのグラフは右図のようになる。 したがって, -2<x<2の範囲で C' と'が2 点で交わる条件は <<2) (>²<D} (+²6<0) A 2 C':y=x-x 2 l': y=k IC ゆえに, 求める条件は - <k<2 [注1] 次のように, 直接 C との交点を考えてもよい。 放物線C:y=x2 と直線l:y=x+kが接するとき x=x+k すなわち x-x-k=0 が重解をもつから,判別式をDとすると 1 D=1+4k=0 ...... ( k=- このとき、接点のx座標はx=0であるか ら、-2<x<2の範囲で接する。 また, IC上の点 (2,4)を通るとき :. k=2 4=2+k よって右図より, -2<x<2の範囲でCと が2点で交わるときのんの満たす条件は 〔注2〕 Cと1が接するときのkの値は微分法を用いて 1 2 であるから、 接点の座標は y'=2x=1より, x=- 11 +kより, =-1として求めてもよい。 4 2 よって, k=- ... (2) Cとの交点のx座標を求める。 x2-x-k=0 x=x+k より x=1±√1+4k (-1<x<2) 2 とおくと ₁-1-√1 +4k B = α= 2 2 YA α O 1+√1 +4k 2 §1 2次関数 59 C:y=r O 1 (12-14) 82 2 1(k=2) x

この問題の解説でこの範囲を満たすのがどうしてf(p)とf(q)の積が0より少ない時になるのでしょうか？

12 基本例題 129 2次方程式の解と数の大小 (2) 2次方程式 ax^²-(a+1)x-a-3=0が-1<x<0, 1<x<2の範囲にそれぞれ 1つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。 /p.207 基本事項 2 重要 130、 指針 A [a>0] f(x)=ax²-(a+1)x-a-3(a≠0) として グラフをイメージすると,問題の条件を満 たすには y=f(x)のグラフが右の図のよ うになればよい。 すなわち f(-1) f(0) が異符号 [f(-1)(0)<0] かつ f (2) が異符号 f(1) [ƒ(1)ƒ(2) <0] である。αの連立不等式を解く。 CHART 解の存在範囲f(pf(g) <0ならgの間に解(交点) あり - y=f(x) 0 1 + 2x [a<0] TO 0 1 y=f(x) 2x 0

「2次方程式の解の存在範囲」についての質問です。 この問題がわからず、解説も見たのですが丸をつけた部分までしか理解が出来ませんでした。 なぜこのようになっていくのか等、どなたか解説してくださる方いませんか？

2 3 2次関数と方程式・不等式 35 16 2次方程式の解の存在範囲 要点1 2次方程式の解の存在焼器 2次方程式 ax2+bx+c=0 の解の存在範囲に関する問題は OS f(x)=ax²+bx+c とおき、次のことに着目するとよい｡ [1] 判別式の符号 [2] 軸の位置 [3] あるxにおけるf(x)の値 f(x)の値 演習 □ 180* 2 次関数y=x2+2kx-k のグラフがx軸と, -2<x<0, 0<x<2 のそれ ぞれの部分で1点ずつ交わるような定数kの値の範囲を求めよ。こ -2 T. 2A (0, -3), (-1, 0j³ 教p.184~187 探究 7 (67X01TEXNO 0 第2章

青線で引いてあるのがなぜこのようになるのか分かりません。

例題 72 解の存在範囲 (4) 2次方程式 ax²-(a+1)x-3=0 の1つの解が-1<x<1の範囲にあ り、他の解が2<x<4の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ。 考え方 y=f(x)=ax²-(a+1)x-3 とおくと, 題意を満たすのは, f(x)のグラフが 右の図のようになるとき. つまり, グラフの凹凸に関係なく f(-1) f(1) 異符号, (2) f(4) が異符号 Focus f(1)=a・12-(a+1)・1-3=-4 y=f(x) より, f(-1)f(1) <0, (2)(4)<0 となるときである1と1の間2と4の間 -1と1の間 24の間 解答 y=f(x)=ax²-(α+1)x-3 とおくと, f(x)=0は2次方程式より a=0 求めるのは, y=f(x)のグラフが-1<x<1と2<x<4 の範囲で,それぞれx軸と交わるαの値の範囲である. (i)y=f(x)のグラフが-1<x<1の範囲でx軸と交 わるための条件は,f(-1) f(1) <0_となることである. f(-1)=a・(-1)²-(α+1)・(-1)-3=2a-2 (2)f(4)=(2a-5)(12a-7)<0 より したがって、 1<a<2/2 5 よって、①,②より、 1<a</1/2 5 ......2 (PT) y=f(x) より f(-1) f(1)=(2a-2)・(-4)<0 したがって, a-1>0 より, a>1 ･① (ii)y=f(x)のグラフが2<x<4 の範囲でx軸と交わ るための条件は, (2) f(4)<0 となることである. f(2)=α・22-(a+1)・2-3=2a-5 f(4)=a•4²-(a+1) 4-3=12a-7RM30) (2) 10 D 2 7 1 12 4 x-1 解の1つがより大きくgより小さい, 他の1つはより小さいか」より大きい ⇒ f(p)・f(g) < 0 31000 CINE 2318261- 5 * * * * 2 1 (1) AL a 2 14 2次方程式 ax²-(a+1)x-3 より、a≠0 a>0 の場合 a < 0 の場合 x 1 2 =0 4x 4 XC となり,いずれも f(-1)(1)<0 ƒ(2)•ƒ(4) <0 となる. Thir 例 注》例題 72 のように, f(-1) f(1) <0 かつf(2) (4) <0 のとき、必ずx軸と2つの共 有点をもつから, 頂点のy座標の正負に触れる必要はない、軸の位置 のことを,いろいろな2次関数のグラフをかいて確かめて

45. これってどこがおかしいですか？ （おそらくどこかで計算が間違っていると思います。）

2+36 ① 重要 45.4 よ」というこ の形(係数は ■2(x2の係数 ように｡ 囲の因数分解 〇因数分解。 る。 ないように 重要 例題 45 因数分解ができるための条件 x2+3xy+2y2-3x-5y+kがx,yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k の値を求めよ。また、その場合に,この式を因数分解せよ。 [東京薬大] 基本 44 と、次 い場合 指針 与式がx,yの1次式の積の形に因数分解できるということは, (与式)=(ax+by+c) (px+qy+r) 解答 の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照)してもよいが,ここで は,与式をxの2次式とみたとき, =0とおいたxの2次方程式の解がyの1次式で なければならないと考えて, kの値を求めてみよう。 ポイントは,解がyの1次式であれば解の公式における 方式 [(整式)” の形の整式] となることである。······ ① P=x2+3xy+2y²-3x-5y+k とすると P=x2+3(y-1)x+2y²-5y+k P=0を x についての2次方程式と考えると, 解の公式から Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには、この解が の1次式で表されなければならない。 [31] よって、根号内の式y'+2y+9-4k は完全平方式でなければな らないから,y+2y+9-4k=0 の判別式をDとすると D=1²-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに k=2 4 x= このとき すなわち よって -3(y-1)±√9(y-1)²-4(2y²-5y+k) 2 -3(y-1)±√y2+2y+9-4k 2 x= −3(y−1)± √(y+1)² -3y+3±(y+1) 2 2 x=-y+2, -2y+1 P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)} =(x+y-2)(x+2y-1) 検討 恒等式の性質の利用 x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから、与式カ と (与式)=(x+y+a)(x+2y+b) 内がyについての完全平 x²の係数が1であるから, xについて整理した方がら くである。 この2つの解をα,βとす ると, 複素数の範囲で考え てP=(x-a)(x-β) と因数分解される。 練習 ④ 45 また,その場合に,この式を因数分解せよ。 (1) x2+xy-6y²-x+7y+k ■完全平方式 ⇔=0が重解をもつ ⇔ 判別式 D=0 (y+1)^=ly+1である が, ±がついているから, y+1の符号で分ける必要 はない。 cyの1次式の積に因数分解できるとする ① と表される。 ① は、xとyの恒等式であり,右辺を展開して整理すると (与式)=x²+3xy+2y²+(a+b)x+(2a+b)y+αb となるから,両辺の係数を比較して a+b=-3, 2a+b=-5,ab=k これからんの値が求められる。 (1) 次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように,定数kの値を定めよ。 (2) 2x2-xy-3y2+5x-5y+k 77 2章 9 解と係数の関係、 解の存在範囲

例題26について青マーカーの範囲がどうやって出てきたのかが理解できません、、。 教えて頂けると幸いです。

例題 26 2次方程式x2ax+1=0の1つの解が0と1の間にあり,他の解 220 2次方程式の解の存在範囲 が2と3の間にあるように,定数aの値の範囲を定めよ。 □ 考え方 解がとsの間にある LUC 解答 f(x)=x2-ax+1とする。 y=f(x)のグラフは下に凸である。 また、1つの解が0と1の間にあり、 他の解が2 と3の間にあることから, y=f(x)のグラフは右 の図のようになる。 よって,次が成り立つ。 f(0) f(1) <0かつf(2)(3) < 0 1.(2-a) <0 f(0) f(1) <0より a>2....... ① f(r) f(s) <0 を用いることができないか考える。 よって f (2) f (3) <0より よって (5-2a) (10-3a) <0 ....2 5 <1/①0 <a< 2 3 ①,②の共通範囲を求めて 5 2 10 -<a<- 答 1 0 1 2 I I ● O 3 x 【?】 本問の解答は,上の補の命題 「f(r) f(s) <0⇒解 x = αが存在 (r<α<s)」の逆を用いている。 2次関数f(x) について, 逆が成立しない ような条件を考えてみよう。

数Iの2次関数のいろいろな問題「方程式の解の存在範囲」についてです。 ポイントマーカー部分を参考に、(I)解が0,1の間にある場合と(II)1,2の間にある場合に分けて考えたのですが、答えが違いました。 正しい求め方を教えてください。 よろしくお願いします。

26 2次関数のいろいろな問題 方程式の解 の存在範囲 ed +10 S 86 2次方程式 2x-3x+a=0の1つの解が 0と1の間にあり、 他の解が1と2の間にあるとき,定数aの値の範囲を求めよ。 ポイント1 2次方程式f(x)=0 について 解がとの間にある。 (下の重要事項を参照) 重要例題 ― f(r)f(s) <0 を考える。

二次方程式の解の存在範囲 (2)について条件式が赤字の式になるのが分かりません。どのように考えてこのようなものになりますか？

基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲 00000 2次方程式x2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように、 定数♪ の値 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 X (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。 指針 2次方程式x2px+p+2=0の2つの解をα,Bとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつ B-10 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい｡ α-38-3が異符号 以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用 する解法 (p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の解参照。 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解を α, β とし, 判別式 2次関数 をDとする。 =(-p)²-(p+2) =p²-p−2=(p+1)(p−2) a+B=2p, aß=p+2 解と係数の関係から (1) μ>1,β>1であるための条件は D≧0かつ (-1)+(B-1)>0 かつ (α-1) (8−1) > 0 D≧0から (p+1)(p-2) 20 よって p≦-1, 2≦p... ① (a-1)+(B-1) > 0 すなわち α+β-2>0から2ヵ-2>0 よって p>1. (α-1)(B-1) > 0 すなわち αβ-(α+β) +1> 0 から +2-2p+1>0 すなわち ゆえに よって ****** よって <3. 求めるかの値の範囲は, ①, ②, ③の共通範囲をとって 2≦p<3 (2) α<β とすると, α <3 <Bであるための条件は (a-3)(8-3)<0 aß-3(a+B) +9<0 p+2-3-2p+9<0 カ> 11 5 ****** 27 P.81 基本事項[2) -1 123P f(x)=x-2px+p+2の グラフを利用する。 (1)=(p+1)(p-2) 20, 3-p 0 *** 軸についてx=p> 1, ƒ(1)=3-p>0 から 2<3 yal d 11 f(x) (2) f(3)=11-5p < 0 から D> 題意から,u=Bはありえ ない。 83 2章 9 解と係数の関係 解の存在範囲