写真についてなのですが、数列{a[n]+pb[n]}が等比数列となるようなpを考えるとき、 1=2+p…a[n+1]の係数 p=1+2p…b[n+1]の係数 の連立ではなく、なぜ、1:p=(2+p):(1+2p)という比の式で求めるのですか？また、連立だとダメな(できない)... 続きを読む

a=2, b=1, an+1=2an+bn (n≧1) ...... ①, bn+1=an+26n (n≧1) ......② をみたす数列{an},{bn}がある. (1) an+b=Cn とおいて, 数列{Cn}の一般項 Cn を求めよ. (2) an-bn=dn とおいて, 数列{dn}の一般項dn を求めよ. (3) an, bn をnで表せ. ①+②xpより, an+1+pbn+1=(2+p)an+(1+2p on ここで,数列{an+pbn}が等比数列となるようなかを考えると 1:p=(2p) (1+2p) が成りたつので, p2=1 p (2+p) = 1+2p ‥. p = ±1 よって ① +②, ①-② を作ると等比数列ができる。 ...

数B 数学的帰納法　一般項の推測 3枚目の写真のように an＝-(2n-1)の形にするのかわかりません an＝−2n +1 では違うのでしょうか？

47 次の条件によって定められる数列{an} a=-1, an+1=a²+2na²-2 がある。 (n=1,2,3,.....) (1) 2,3, as を求めよ。 (2) 第n項を推測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。

合同式を用いた回答の方が分からないのですが、なぜ偶数と奇数で場合分けをしているのですか？

534 XX 重要 例題 100 等差数列と等比数列の共通項 00000 列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cn} を作るとき, 数列{cm) 数列{an}, {bn}の一般項を an=3n-1,bn=2" とする。 数列{bn}の項のうち、数 の一般項を求めよ。 CO 重要 93. 基本 99 指針▷>2つの等差数列の共通な項の問題 (例題93) と同じように,まず,a=bmとして、1mの 関係を調べるが,それだけでは {cn}の一般項を求めることができない。 そこで,数列{an}, {bn}の項を書き出してみると,次のようになる。 (an): 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, {bn}: 2,4,8,16,32, を順に調べ、規則性を a=by, Ca=bs, Ca=bs となっていることから,数列{bn} を基準として, bm+1 が数列{a の項となるかどうか, bm+z が数列{an}の項となるかどうか、 見つける。 解答 α = 2, b=2であるから C1=2 数列{an}の第1項が数列{bn} の第 m 項に等しいとすると規測性から 3-1=2m 答えを予想はできたこ ゆえに bm+1=2m+1=2m・2=(3Z-1)・2 ...... =3.21-2 よって, bm+1 は数列{an} の項ではない。 ①から bm+2=26m+1=3・4l-4 =3(4-1)-1 ゆえに, bm+2 は数列{an} の項である。 したがって {C}:b1,63,65, 数列 {cm} は公比22の等比数列で, C1 = 2であるから Cn=2.(22)"-1=22n-1 20 3･O-1 の形にならない。 22"=4"=1"≡1(mod3) [2] m=2n-1(nは自然数) とすると THE JAN ,830 V-b (s) cn=1412 などと答えてもよ 検討 合同式(チャート式基礎からの数学A 参照) を用いた解答 3n-1=-1≡2(mod3) であるから, 2=2 (mod3) となるm について考える。 [1] m=2n(nは自然数) とすると 22n-1=22(n-1).2=4”-1.2=1"-1.2=2 (mod3) [1], [2] より m=2n-1 (nは自然数) のとき 2が数列{cm} の項になるから Cn=bzn-1=22n-1 重要 初項が 10g103= C41) 10 △×(2) 初 指針 練習 数列{an},{bn}の一般項をan=15n-2, bm=7.27-1 とする。 数列{bn}の項のう (④4) 9 100 ち, 数列{an}の項でもあるものを小さい方から並べて数列{cm} を作るとき, 数列 {C}の一般項を求めよ。 03102 解 (1) 初 103- s +6 各 ゆ よ す n

この写真の参考(その1)の別解についてなのですが、 ①赤線部分の4-2α=0、-2β+α=0となる理由がわかりません。 ②また、この解き方がどのような仕組み、考え方で解いているのかわかりません。

基礎問 3 188 124 2 項間の漸化式 (Ⅲ) (2)=1, an+1=3a+4n (n≧1) で表される数列がある。 (1) an+2n=bm とおくとき. b. bs41 の間に成りたつ関係式を 求めよ. (2) bm を求めよ. 開 124 = pantan+r (p≠1) • ① 型の漸化式の解き方には 3通りがあります。 Ⅰ. an+an=b, とおいて, b+i= pbs+g 型になるように、αを決める 精調 II. a.tan+β= b, とおいて, bsta=rb 型になるように、α.βを決める 番号を1つ上げて as+z= pas+g(n+1)+r② を用意して ②①を計算し、 α+1-α = b とおいて、 階差数列の考え方にもちこむ この問題では,Iを要求していますので、II. の解答は を見て下さい 解答 (1) an=b-2nan+1=5x+1-2(n+1) だから, これらを与式に代入して bn+1−2(n+1)=3(bm-2n) +4n …. b+1=36+2 (2) 6 +1=36+2 より 6 +1+1=3(b+1) ゆえに, 数列 (6+1} は, 初項 b1+1= (a,+2)+1= 4, 公比3の等比数列. よって, bm+1=4.3"-1 bn=4.3"-1-1 an-bn-2n-4-3-¹-2n-1 (3) (3) an を求めよ. 参考 (その1)(ⅡIの考え方で) an+an+B=b. とおくと, an-bn-an-B, anti-ba+1-a(n+1)-B 与えられた漸化式に代入して bs+1-α(n+1)-β=3(bm-an-β)+4n ○ ポイント b₂=4.3"-1 よって、a=bュー2n-1=4-3-2n-1 E 注 an+an+B = b, とおく理由は, 漸化式の中の4n がじゃまで、こ と an + に分配することによって4n を視界から消すことを考 えているからです。 bn+1=36+(4-2a) n-2β+α ここで, 4-2a=0, -28+α=0 をみたす α, βは,α=2, 8=1 よって, +2n+1= b, とおけば, bn+1=3bs, bs=4 ∴. bm+2=8.3-1 次に, n ≧2のとき (その2) (Ⅲの考え方で) [x+1=3an+4nⓘ より,x+2=30si+4(n+1) ② ②-① より, an+2an+1=3(4s+1-a)+4 ここで, an+2a=b とおくと bat=30+4,b=a2-a=6 (42=3a+4=7) よって, bn+1+2=3(b,+2), b1+2=8 よって R-1 an= a₁ + Σ b=1+ (8-3-¹-2) A-1 n-1 A-1 b=8-3-1-2 a=3a+2 より a=-1(123 =1+8.3g-11-2(n-1)=4-3"-1-2m-1 = paste [ 123 121 ポイント 1 121 189 117 118 これは,n=1のときも含む. Ⅲの考え方の解答は,左端に示したように.12.3°の3つの部 分から成りたっています。 それぞれの部分はすでに学習済みです。 漸化式は,おきかえによって、最終的に次の3型のい ずれかにもちこめれば一般項が求まる Ⅰ. 等差 Ⅱ. 等比 Ⅲ. 階差 7 (a) 第7章

この式はなぜ項数がnでは無いのですか？

1は単調に増加し, 62・63=3906, 63·64=4032 である ①を満たす自然数mは m=63 2 1999-1953=46 63+(46−1)・1=108 そして、その数は よって 第1999 項は 第63群の46番目の項である。 =63のとき 1(m-1)m= ･・62・631953 習2の累乗を分母とする既約分数を,次のように並べた数列 1 3 1 35 7 1 3 112 5 1/1¹ 8¹ 8¹ 8¹ 8¹ 16' 16' 16' について、第1項から第100項までの和を求めよ。 2' 分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。 |13|1 35 7|1 3 5 816'16'16' 24'48'8'8 第k群には2′-1個の項があるから, 第1群から第n群までの 項の総数は 1+2+22+ +2"-1= 第100項が第n群の項であるとすると 2−1−1 <100≦2"-1 1 2n {1+3+ k=1 2-1-1は単調に増加し, 2-1=63, 27-1=127であるから, ⑩ を満たす自然数nは n=7 第6群の末項が第63項となるから 100-63=37 したがって, 第100項は第7群の第37項である。 ここで,第n群の項の和は 2"-1 2-1 ・+(2"-1)}= 2 Σ2²-2+ 12/17 11+3+...... =27-2 更に、各群の番目の項の分子は2k-1 である。 よって、求める和は 126-1 1 + 2 2-1 128 •63+ 1369 128 ·=2"-1 ...+(2.37-1)} ･372 1 1 22 5401 128 15 | 1 1632 15 1 16'32' •2"-1{1+(2"-1)} ←第62群の末項が第 1953 項となる。 練習 自然数 1,2,3, を、 右の図のように並べる。 13 (1) 左からm番目、上から1番目の位置にある自然数をmを用いて 数学B409 ←初項1,公比 2 項数n の等比数列の和。 ←2°-1=63 [類 岩手大] は第n群の分子の 和で,初項 1, 末項2"- 1, 項数 2-1の等差数列の和。 ←1+(k-1)・2=2k-1 k=1 ← 224-²=-2 / / / 12 ・2k-1 ← 1+3+5+•••･・･ +(2n-1)=n² [xhiA2m²) 4h² 1 2 4 7 3 5 8 6 9 *** ..... 35 練習 列]

この数列の問題、教えてください！

数列{an}において初項から第n項までの和を Sn とするとき, n(n+2)an+1=Sn (n=1, 2,3,...), limSn=2 1248 が成り立つものとする。 一般項an を求めよ.

青線の部分がよく分かりません。

基本例題 119 an+1= = an+1 = 指針 漸化式 An+1= |2| an 4an-1 an panta an pan+g ① 漸化式の両辺の逆数をとると 型の漸化式 によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 [類 早稲田大〕 基本 116 のように,右辺の分子が α の項だけの場合の解法の手順は 1 2₁=p+9 1 = b, とおくと bn+1=p+gbn an an+1 ......... an bn+1=0b+▲の形に帰着。 ! p.560 基本例題 116と同様にして一般項 bn が求められる。 また,逆数を考えるために α =0(n≧1) であることを示しておく。 TMAHO

等差数列の問題です 2.5.8.11.14.17.20......の数列を一般項で表すとどうなりますか？？どなたか教えてくださると嬉しいです、、お願いします、、。

教えてくださいお願いします🙇‍♀️

48 a=-7, a2 = -13, an+2=7an+1-12an (n=1, 2,3,.....) を満たす数列{an}の一般項 を求めよ。 [類 千葉工大)

この問題教えてください🙇‍♀️

}の一般項を求める 条件 α = 1, an+1= an 3an +2 (1) 6m= (n=1,2,3, ・･・････) で定められる数列{an}を考える。 1 とおくとき, bn+1とbmとの関係式を求めよ。 an 2) 数列{an}の一般項を求めよ。 [