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nを仮定する数学的帰納法
3 漸化式と数学的帰納法
例題 322
(an)
を満たし α = 2 である. このとき, 一般項an を推測し, これを証明せよ.
3a²+az²++an²)=nawa.o!
① で n=1 とすると
α = 2 より
az=6
① n=2とすると
=2,42=6より
① で n=3とすると、
考え方 まずは具体的に書き出して一般項an を推測し, それが正しいことを数学的帰納法で証
明する.n=kのとき, 3(a²+az²+......+an²) = kakak+1 となり, 推測した an
(n≦k) を a, a2,......., ak に代入して ak+1 のときも成り立つことを示せばよい. そ
のため, a1,a2, ......, ak のすべてを仮定する必要がある
とおく。
3a²=1.ara2
3(a²+az^²)=2azd3
3=10
(+01=05501-8
Q(x)とする。
3(a₁²+a2²+a3²)=3a3a4D (INZ
a=2, a2=6,a3=10より,
a=14
したがって,数列{an}は,初項2, 公差 4の等差数列,つまで、
り, 一般項an は,
an=2+(n-1)・4=4n-2...... ②
***D
***
と推測できる.
②を数学的帰納法で証明する.
()+"el-
(I)n=1のとき, α=4・1-2=2 より ②は成り立つ。
In≦を満たすすべての自然数nについて ② が成り立
(つと仮定すると,
ae=4l-2 (l=1,2,......, k)
16-17/(0-)-4
①でn=kとすると,
=(a²+a²+......+a^²)=kanak+1 ③
k
k
(③の左辺)=3Σ(4e-2)=3】(16ℓ²-16ℓ+4)
l=1
3/16/01k(k+1)(2x+1)-16/12 (+1)+4k
(-) =k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12}
(-) = 4k (4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1)
・④
(③の右辺)=k(4k-2)an+1=2k(2k-1) ak+1
④ ⑤ より, 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)an+1
したがって,
ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2
となり,n=k+1 のときも②は成り立つ (1
(I), (II)より, すべての自然数nについて, an=4n-20-
が成り立つ.
LOTL
561
第8章
a1,a2,…,ak につ
いての仮定が必要に
なる.
(S-1)="er (MIR)
1.05=8-0²5
om 5 RAH
STIS ***
REL. RAY
2k (2k-1) (+0)
両辺を割る.
練習 数列{an} (a>0) はすべての自然数nに対して,
656
322 (a1+a2+..+an)=a+a2+...... +α を満たす。このとき,一般項an を
***
推測し,これを証明せよ。
Date
+1
自然
で定義
QA
2+1
15
を数学的
2
1-1/3
I
1
つ.
①が成
1
-ak
2k
(k+
(k
n
