複素数平面の問題です。 zと共役の複素数の和と積が、求められたから二次方程式を立てたのだとおもうのですが、 二次方程式のtの解が、なぜzを示すのか分かりません。

18 重要 例題 8 複素数の実数条件 絶対値が1で,2-zが実数であるような複素数zを求めよ。 CHARTO SOLUTION 複素数の実数条件 αが実数⇔a=d zとえの和と積の値からぇぇを解にもつ2次方程式を作る。 (解答) |z|=1 から また, |z|²=1 zは実数であるから 2³-2=2³-z ここで,z-z=z-z=(z)-zから (z)³-z=z³-z ゆえに したがって 2³—(2)³—(2-2)=0 (左辺)= (z_z) {z2+zz+(z)^}-(z_z) =(z_z){z2+1+(z)²−1} =(z−z){z²+(z)²} (z+z2-2zz=0 よって (z−z){z²+(z)²}=0 ゆえに z=z またはz2+(z)2=0 [1] z = z のとき zは実数である。 よって, |z|=1 から |z =±1 [2] z'+(z)=0 のとき zz=1 z=±1, t2+√2t+1=0 の解である。 よって [1],[2] から 0=8+1 0=80$+01+8 ゆえに (z+z)²=2 よって 2+2=± √2 z+z=√2 のとき, zz = 1 から, 2数z zは2次方程式 t2-√2t+1=0 の解である。 よって √√√2 ± √2i t= 2 z+z=-√2 のときも同様にして2数z zは2次方程式 -√√2+√√2i 2 00000 ==|z|2 t= √√2+√√2i -√√2 ±√√2i 2 2 0=s+ūtu div=5+8+ αが実数α=u ■α-β=a-B a"=(a)" <-a³-6³ 基本 5,6,7 =(a−b)(a²+ab+b³²) <-zz=1 (80)168- (1+zz=1 ◆解の公式を利用。

102番についての質問です。 （2）を解くときに、解と係数の関係が使われていますが、問題を見たときにどのように解と係数の関係を使うときづけるのか教えていただきたいです。

TEALTH 上を動くとき、点Pは直線 OLUTION に関して PとQが対称 直線PQCに垂直 分PQの中点が上にある Zy+80 上を働くときの 量の関係式を導く。 に関して点Qと対称な点Pの軌跡, と考える。 ······ ・・･･ [ ご連動する点P(x, y) の軌跡 -8 INSALA / P(x,y) (5) YA √₁ 01 ① Q(s,t) 。 x Q inf 線対称な直線を深 るには, EXERCISES 71 (p.131) のような方法し あるが, 左の解答で用いた 軌跡の考え方は、直 の図形に対しても通用する ◆垂直⇔傾きの積が2 ◆線分PQの中点の座標は (x+s y+t 2¹ 2 vtt) 上の2式の辺々を加え ると 2s=2-2y 辺々を引くと -2t=2x-2 ◆s, t を消去する。 重要 例題 102 放物線の弦の中点の軌跡 00000 直線y=mx が放物線 y=x2+1 と異なる2点P, Qで交わるとする。 (1) m のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。 CHARTO SOLUTION 条件を満たす点の軌跡 つなぎの文字を消去し, x, だけの関係式を導く ・・・・・・ (1) 異なる2点で交わる ⇔yを消去したxの2次方程式が異なる2つの実数解をもつD>0 (2) 中点の座標を解と係数の関係を利用してmの式で表す。 この m を消去し て軌跡の方程式を求める。 ただし, (1) の条件から軌跡の範囲を調べる。 解答 (1) y=mx..... ①, y=x2+1 ① ② からyを消去すると mx=x2+1 すなわち x-mx+1=0...... ③ ③ の判別式をDとすると D=(-m)-4=(m+2)(−2) 直線 ① と放物線 ② が異なる2点で交わるための条件は D>0 ④より"<-1,1< 2 YA したがって 求める の値の範囲は m<-2,2<m ... ④ (2) 2点P, Qのx座標をそれぞ れβとすると, α, βは③の 異なる2つの実数解であるから 解と係数の関係により α+β=m したがって, 線分PQの中点M の座標を(x,y) とすると (a+β)_m 2 2' 上の2式からmを消去して y=2x2 よって, 求める軌跡は ・・・・・・･ ② とする。 m 2 y=mx であるから O P [改 星薬大 ] [基本 100 M 放物線y=2x2 の x<-1,1<x の部分 x<-1, 1<x 1 a a+B x 2 ◆直線 ① と放物線②が異 なる2点で交わるとき, 2次方程式 ③ は異なる 2つの実数解をもつ｡ ←点Mは直線 ① 上の点。 m=2x を ④ に代入し て2x<-222x よって x<-1, 1<x と考えてもよい。 3章 13 軌跡と方程式

【数学A】【集合】『丸で囲んであるところが読んでも、分かりません。分かるように、優しく教えて下さいませんか？』よろしくお願いしますm(_ _)m

248 基本例題 8 (全体)(~でない)の考えの利用 大小2個のさいころを投げるとき 旧人は何通りある。 ~ (2) 目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。 CHART SOLUTION 場合の数の求め方 正確に、効率よく (Aである) = (全体)(Aでない)の活用 (1)(全体)-(目の積が奇数)と考えた方が計算量が少ない。 (2) 目の積が4の場合,8の場合, 次の2つの場合に分ける。 [1] 2つの目のうち少なくとも1つが4の目の場合 [2] 2つの目がともに4以外の偶数の場合 解答 (1)積が奇数になる場合は,2つの目がともに奇数のときで 3×3=9(通り) 2つの目の出方の全体は 6×6=36 (通り) であるから,目の 積が偶数になる場合は 36-9=ハ (2) 目の積が4の倍数になるのは,次の [1], [2] の場合がある [1] 2つの目のうち少なくとも1つが4の目の場合 2つの目がともに4以外の目の場合は5×5=25(通り)で あるから 36-25=11 (通り) [2] 2つの目がともに4以外の偶数の場合 2×2=4 (通り) [1], [2] から, 求める場合の数は 11+4=15 (通り) 別解 [1] 2つの目がともに奇数 [2] 大, 小さいころの目が順に 口 のときであるから, 求める場合の数は 4 以外の偶数、奇数;または奇数,4以外の偶数 36-(3×3+2×3+3×2) = 15 (通り) PRACTICE・・・ 8 ③ 3 36 の場合と考えるのは大変。 そこで、 OFIE- (1) 直接求めると、目の が偶数になる場合は [1] 2つとも偶数 [2] 大小の順に (2) [1] から 3×3=9 [2] から 3×3+3×3=18 よって 9+18=27 (通り) 小 Is 1-2 |1123456 1 00000 3 p.240 基本事項 4 5 6 - 偶数と奇数または 奇数と偶数 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 681012 4 6 69121518 4 8 12 1620/24 5 10 15 20 25 30 6 12 18 24 30 36 [1] の場合 [2] の場合 (全体)から(4の倍数で ない場合)を引く〇 95 25 海外 であ りう CHA 解答 ①全体集 の集合 個数 よっ [1] A の [2] S DA た G 以 ① 別

符号の向きがなんで変わるんですか

基 本 例題 90 円と直線の位置関係 ①と直線y=mx-m 円 x2+2x+y2=1 わるような, 定数mの値の範囲を求めよ。 CHART SOLUTION 円と直線が1点で接する la- HOT 円と直線の位置関係 1 判別式 ② 中心と直線の距離 方針① 円と直線の方程式からyを消去して得られるxの2次方程式の判別式 Dの符号を調べる。 方針② 円の中心と直線の距離dと円の半径rの大小関係を調べる。 異なる2点で交わる ⇔ D>0⇔ d<r ⇔D=0⇔ d=r 共有点をもたない ⇔DKO ⇔ d>r 問題の条件は,方針① D>0 方針 ② d<r これからmの値の範囲を求める。 解答) 方針 ① ② を ① に代入して整理すると (m²+1)x2-2(m²-1)x+m²-1=0 D ! 判別式をDとすると 438 19 ①0 ・・・･･･ ② が異なる2点で交 p.132 基本事項 2 //={-(m²-1)-(m²+1)(m²-1) =(m²-1){(m²-1)-(m²+1)} =-2(m²-1)=-2(m+1)(m-1) 4 円 ①と直線② が異なる2点で交わるための条件は よって -2(m+1)(m-1)>0 ゆえに -1<m<1 D>0 4G YALIVS="C m²+1=0 であるから, xの2次方程式である。 26 ((m+1)(m-1)< 0 AS-8A

至急お願いします。 なぜ絶対値をつけているのでしょうか。 また、波線の部分がどのように導かれたか分かりません。 97について、Bp =xnと置いた理由や、1/2とは何を指すのか教えていただきたいです

ときの極 基本事項 D 基本例題 {r"} の極限(rの値で場合分け) rn-1 2218 mn+1 よって キー1 のとき, 極限 lim- CHART rk1のとき よって lim →∞ r=1のとき \r|>1 のとき ♪” を含む数列の極限 .72 {r"} が収束する, すなわち, r|<1 やr=1のときは, 与式のまま極限を考える ” の極限は,rの値により異なるから 場合分けして考える。 ことができる。 |r|>1 {r^*} >1 のとき, (7) は収束しないが, 1/21 から (12) が収束することを利用 <1 する。基本例題 89 と同様に、分母・分子を”で割ってから極限を考える。 lim n→∞ limr"=0 1218 OLUTION xn-1_0-1 inn+1 nn-1 rn+1 0+1 r"=1. よって ||<1 =lim n→∞ ゆえに n 1- (-1) " 1+ n を求めよ。 r=±1 が場合の分かれ目･････ = -1 lim nnn+1 1+1 lim n→∞ (1) 1-0 1+0 n =1 -- p.141 基本事項 基本 89 =0 =0 inf. r=-1 のとき, nが 奇数ならば r"=-1 であ るから, (分母)=0 となり rn-1 rn+1 が定義されない。 147 ◆分母・分子をr” で割る。 INFORMATION” の極限 この例題からわかるように, " を含む式の極限は,r=±1 を場合の分かれ目として 場合分けして考えるのがポイントである。 また, r|>1 のとき, { r"} は収束しないが, // 1)") 4章 10 数列の極限

この問題はこのように解いてはいけないのでしょうか？ 多分なにか勘違いして解いて、間違えてると思うんですけど、よろしくお願いします。

本 64 79 方程式の共通解 要 例題 2つの2次方程式 2x²+kx+4=0, x2+x+k = 0 がただ1つの共通の実数 解をもつように、 定数kの値を定め, その共通解を求めよ。 SOLUTION CHART 方程式の解 =α が解⇔ x=α を代入して方程式が成り立つ よって 共通解を x =α とすると 2a²+ka+4=0 ①②×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式にx=α を代入した 202+ka+4=0,a2+α+k= 0 が成り立つ。これを α, kについての連立方程式 とみて解く。 実数解という条件に注意。 ...... ①, a²+a+k=0 ...... 2 (k-2)(a-2)=0 k=2 または α=2 ゆえに [1] k=2 のとき 2つの方程式は、ともに x2+x+2=0 となる。 その判別式をDとすると D=1²-4·1·2=-7 D<0であり, 実数解をもたないから, k = 2 は適さない。 [2] α=2のとき ② から 22+2+k=0 このとき2つの方程式は 2x2-6x+4=0 ①', x2+x-6=0 となり,①'の解はx=1, 2 ②' の解はx=2, -3 よって,確かにただ1つの共通解x=2をもつ。 [1][2] から k=-6, 共通解はx=2 ゆえに ...... k=-6 基本 75 .….... 12 x=α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 ◆α² の項を消す。 ◆共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら、逆を調べ十分条件で あることを確かめる｡ ax²+bx+c=0 の判別 式はD=62-4ac ②2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 INFORMATION この例題の場合、連立方程式 ① ② を解くために,次数を下げる方針でα²の項を消 ましたが,この方針がいつも最も有効とは限らない。 下の PRACTICE 79 の場合は、定数項を消去する方針の方が有効である。 PRACTICE 794 3章 2次方程式

書き込みがある波線部で、 式を変形したら右のようになりますよね？ なぜn≧2という条件がつかないのですか？

1 基本例題 96 (等差)×(等比)型の数列の和 一般項が (2n-1) 3"-' で表される数列の初項から第n項までの和 S=1・1+3・3+5･32+………+(2n-1)・3n-1 を求めよ。 CHART SOLUTION 解答) よって MIESTOROC (等差)×(等比)型の数列の和 S s-rs を作る (rは公比) ...･･･ 数列の一般項は an=(2n-1)・3-1 これは等比数列ではないが等比数列に似た 形である。 等比数列 αrn-1 の和は S=a+ar+ar² +. FILOFF -2S=1+2(3+32+ ここで ゆえに rS= artare+...... tarn-1+arn の辺々を引いて (1-r) S=a(1-r") から求めた。 この例題でも,同じ方針で S-3S を計算する。 (2n-3)-3-2 両辺に3を掛けると S=1・1+3・3+5・32+……‥+(2n-1)・37-1 AE)(I-SE) | 第 (n-1) 項は 3n) 12(n-1)-3(p-de)−(S+AE)_ _ __ 3S= 1･3+3・32+.....+(n-3)・3-1+(2n-1)・3 辺々を引くと ■S-3S=1・1+2・3 +2・3+…･････+2・3-1 したがって tarn-1 3+3+ ...... +3n-1= NE +32+ 15 一 ¥3n-¹)-(2n−1)• 3″ 3(3-1-1)_3 3-1 = ← 2 -2S=1+2.0(3"-1-1)-(2n-1)・3” =1+3"-3-(2n-1).3" =(2-2n)・3-2 S=(n-1)・3"+1 -(2n-1).3″ & 引き算しやすい位置に項を書く。 TE ty -(3-1-1) 0000 130 provede ²+ a=Si 計算しやすいように の項を,上下にそろえて 書く。 (2n-1)・3”である。 符号のミスに注意。 ( )が等比数列になる。 初項3,公比3, 数 n-1の等比数列の和。 n=1,2 を代入して検算 しておくとよい。

(2)なぜ(2,1)になるんですか

基本例題 80点と直線の距離 as 18 (1) 座標平面において, 直線 y=-2x に平行で、原点からの距離が5で ある直線の方程式をすべて求めよ。 [東京電機大] (2) 平行な2直線 2x-3y = 1, 2x-3y=-6 の間の距離を求めよ。 CHARTO SOLUTION 点と直線の距離点と直線の距離の公式を利用・･････① laxi+by+cl d= 点 (x1, y1) 直線ax+by+c=0 の距離dは 直線の方程式は必ず一般形に変形してから利用する。 (1) 直線y=-2x に平行な直線を y=-2x+k すなわち 2x+y-k=0 と表 し、原点からの距離の条件からんの値を決定する。 (2) 平行な2直線l, m間の距離 l上の点Pとmの距離dはPのとり方によらず一定で √5 であるから |- k|=√√5 √22+12 S+ 1.81 LV = √5 √a² +6² RE ある｡ 0-01-²+28 この距離dを2直線lとの距離という。 よって, 2直線のうち、いずれかの上にある1点をうまく選び、 これともう一 (C) 方の直線の距離を求めればよい。 AT HO 1152 AM 10 THE すなわち|k|=5 ゆえに k = ±5 したがって 求める直線の方程式は y=-2x±5 (2) 求める距離は、 直線 2x-3y=1 上の点 (2, 1)と直線 2x-3y+6=0 の距離と等しいから |2・2-3・1+6| 7 √2+(-3)2 √13 解答 (1) 求める直線は y=-2x に平行であるから,y=-2x+k と表せる。 W 原点と直線 2x+y-k=0 の距離が HOLOCST- ■一般形に変形する。 p.115 基本事項 7 x y=-2x 式を適用 d P ▬ (>SAAR ◆傾きが一致。 l m -|-k|=|k| 125 MBSD 「計算に都合のよい点, 例 aえば,座標が整数になる ような点を選ぶ。 (-1,-1) などでもよい

(3)の等号成立が分かりません！

基本例題 27 不等式の証明(差を作る) 85①①①①① 次の不等式を証明せよ。 また, (3) の等号が成り立つのはどのようなときか。 (1) a1, 6/12/2 のとき 2ab+1 > a +26 (2) x² >4x-7 CHARTO SOLUTION 大小比較 差を作る A> B⇔A-B0...... (左辺) (右辺)の式を (3) α2+3623ab 解答 (1) (2ab+1)-(a+2b)=2ab+1-a-2b (1) 因数分解。 (2) (実数) 正の数に変形。 (3) (実数)+(実数) 2 に変形。 注意 一般に, 不等式 A≧B の証明においては,問題で要求していない限り, 必ずしも等号が成り立つ場合について書く必要はない。 =(x2-4x+4)-4+7 =(x-2)²+3>0 - (2b ta) =(26−1)a-(26-1)= =(a-1)(26-1) ここで,a1.b>1/12 から a-1>0,26-1>0 よって (a-1)(26-1)>0 ゆえに 2ab + 1 > a +26 (2) x²-(4x-7)=x²-4x+7 よって x2>4x-7 Z(3) (a²+36²)-3ab=a²-3ab + ( 226 ) ² − ( 2126) ²³- - + 36 ² 3 =(0-20)² + ²0² 20 lp.38 基本事項② よって a²+362≧3ab 3 等号が成り立つのは,α-- -6=0 かつ b = 0, すなわち 2 a=b=0 のときである。 ■差を作る。 α について整理して共 通因数でくくる。 =(2b-1) a-b-11 22B-1) (a~1) =10 do VAS BU + ◆xについて平方完成する。 =(x-2)2≧0,3>0 1 +(a-3-6)² ≥0, 36²20 (実数)2 + (実数) 2≧0 を利用。

長方形で囲んでいるところを具体的に教えてください。お願いします。

244 161 対数 不等式の解法 (2) 基本例題 不等式 10g2x-610gx2≧1 を解け。 CHART SOLUTION 対数不等式 おき換え [logax=t] でtの不等式へ 真数の条件 底αと1の大小関係に注意 底を2にそろえると log2x-- t 6 -≥1 - 底の変換公式 log₂x 6 t log2x=t (tは任意の実数, ただし t≠0) とおくと, t - - ≧1 となり,両辺に を掛けての2次不等式の問題に帰着できる。 ただし,tの符号によって不要 の向きが変わるので、t>0, t<0で場合分けをする要領で解く。・・･・・ 解答 対数の真数, 底の条件から x>0 かつ x=1 1 また 10gx2= 10g2x 6 よって, 不等式は log₂x ≧1 log2x [1] 10gx>0 すなわち x>1 のとき ① の両辺に10g2x を掛けて よって ゆえに (log2x)2-10g2x-6≧0 (log2x)²-6≥log2 x 1 (log2x+2) (10g2x-3)≧0 log2x+2>0 であるから 10g2x-3≧0 すなわち 10g2x≧3 底2は1より大きいから x≧8 これは x>1 を満たす。 [2]log2x<0 すなわち0<x<1のとき ① の両辺に10g2x を掛けて (log2x-6≦log2x2 よって (log2x)²-log2x-6≤0 (log2x+2)(10g2x-3)≦0 これは 0<x<1 を満たす。 1 [1], [2] から x1, 8≦x ゆえに log2x-3<0であるから 10g2x+2≧0 すなわち 10gx≧-2 よって ー2≦log2x<0 底2は1より大きいから 1 x<1 底を2にそろえる。 x=1 から 10gx 基 ■α>1 のとき､x^ loga x>0 t²-t-6 =(t+2)(t-3) 10g2x>0から。 log2xlog28 ◆α>1 のとき, 0<x<1では10g 10gx < 0 から。 log2 ≦log2x