EX
次の等式を証明せよ。
の7(1) kmC=nn-1Ck-1 (ただし n22, 1<k<n)
企 (2) »C+2*»C2+3*,Cs+………+n,Cn=n-2"-1 (ただし ((n21)
のラ(3) 2-1.,Ca+3·2*,Cs+…+n(n-1),Cn=n(n-1)2"-2 (ただし n22)
n! A)
=n
(1) k,C=k
ニnカー1Ck-1 yhl)
(2) 二項定理により
(1+x)"=カー1C。+n-1C1*+n-1C2x?+…+n-1Cカー1X"ー1
x=1 を代入すると
2"-1=ュ-」Co+n-1Ci+m-1C2+………+ョ-」Cn-1
よって,(1)を用いて
(1+x)"ではなく
Ci+2,C2+3»Ca+………+n»Cn
=n(n-」Co+n-1Ci+m-1C2+………+n-1Cn-i)=n·2"-!
(3) 二項定理により
(1+x)"-2=n-2Co+n-2C」x+n-2C2x?+ +カ-2Ch-2x"-2
x=1 を代入すると
2"-2=nー2Co+n-2Ci+n-2C2+………+n-2Cn-2
(1)を繰り返し用いて
日(1+x)”ではなく
(1)から
TR-1)nー1Ck-1
(n-1)n-2C&-2
k(k-1),Ch=n(k-1)n-1Ck-1=n(n-1)n-2Ck-2
2-1·,C2+3-2,C3+………+n(n-1),Cn
=n(n-1)(n-2Co+n-2Ci+…………+ォー2Cnー2)
=n(n-1)2"-2
よって
