複素数の質問です。 この、青で引いた部分の変形が、なぜそうなるのか分かりません。教えて頂きたいです

B406/33. 平面図形と複素数/ 第5章 複素数平面 / 数学C 406. 複素数平面上の異なる4点を 0 (0), A(a),B(β), C(y) とする。 αy = By の とき,次のことを示せ。 □ (1) AB⊥OC □ (2) 線分ABの中点をD(8) とすると, 3点0, D, Cは一直線上にある。 解説を見る 406. (1) ドーが純虚数であることを示せばよいから, (1)次のことが成り立つ。 = 0 を示す。 B-α r → r B-a B-a+(B-2)= r By-ay+By-arby-ay+(By-ar) YY = _By-ar+(By-αr) 0+0 YY -=0 B-a B-a B-a + r ABLOC ⇔ ・が純虚数 Y B-a+(B-a)=0 ⇔ r かつ β-40 Y 1 分子の計算順序を入れ換えて, 条件を使える形にする。 = YY YY 条件より, By-ay = 0 開始 よって, B-40 より, B-a は純虚数となり、 ③A(α), B(B) は異なる点であ Y

なぜ、直線Mにおいての任意の複素数をZと表すことができるんですか？？直線Lの方でもZが使われてて違うものなのになぜ同じ文字でおけるのか教えて欲しいです！！

B(β) z-a z-a よって, 7-B Y-B. Think 例題 C2.36 垂線の方程式,垂心 **** 複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(a),B(β),C(y) を 定める. ことを証 (1) 点Aから直線 BC に垂線lを引くとき, この垂線ℓ上の任意の点 D1S P(z)について、z-a=By (2-2) が成り立つことを証明せよ。 (2) △ABCの垂心を α, β, y で表せ. 考え方 (1) 点A(a),B(3), C(y), P(z) について,|a|=|β|=|y|=1 解答 APLBC または z=a z-a (山形大改) (2) 点Bから直線CAに垂線を引くとき,この垂線上の任意の点Q (ω) について (1) 1-1が純虚数または01-8=-1 と同様の式が成り立つ垂心は z=w となる複素数である. (1) Pは垂線上の点なので, AP⊥BC または z=α より z-a -は純虚数または 0 Y-B (A(α)→0(0) とな [B(B) → 0(0) るように平行移動す Pzると,P,Cは、それ A(α)ぞれ [P(z)→P (z-a) IC(y)→C^(-3) YA P 1. 0 -1 1 上にある であるから, C(r)-1=0 に移る. z-a z-a A 7-B Y-B 両辺に y-βを掛けて, P'(z-a) z-α=-(y-β) (28) Ala ・① ここで, 3点A(a),B(β), C(y) は単位円周上の点よ り |a|=|β|=|y|=1 C'(r-B) よって, zキαのと したがって,|a|=||=|y|=1 であるから, OP OC を aa=βB=yy=1より, 0のまわりに今だ a= B= y= .....2 a B' A (0-8)=0 け回転して実数倍 したベクトルより ②①に代入すると, Z z-a=-(y-β) =BY (1) 1 1α18 8 2- a a =(β-y)- B-Y B BY よって 00: Z ・③ となり、題意は示された「円 z-a=k cos a=k(cos +isin(7-8) RY=ki(7-8) は0でない実数) よって zaki (純虚数 または0) CES ③は直線lの方程式 (1+1を複素数で表現した 2

9行目に書いてあるPを表す複素数をαとしたときSを表す複素数が−αiとなる理由がわからないので教えてください。QからPSに下ろした垂線がx軸と重なっているわけではないですよね？

第2節 | 平面図形と複素数 研究 複素数の図形への応用 93 右の図のように, PQ=QS, PR=RT の 例題 直角二等辺三角形 PQS と PRT がある。 R 線分 ST の中点をMとするとき, 5 △QMR はどのような三角形か。 10 15 S M 解 Q を原点とする複素数平面を考える。 y P(a) R(β) x Pを表す複素数をα とすると, Sを表す複素数は, a⋅(-i)=-ai ① Rを表す複素数を β とすると, Tを表す複素数は, r-β=(a-Bi より y=(a-β)i+B したがって, M を表す複素数 δは,①,②より 8= -ai+{(α-B)i+B}_1- 2 = 1-—-—1—B 2 S M (8) ② T(r) π =1/2(cos(-4) +isin(-4) 8 COS π 8 8 これより, arg = = であるから. B 4 B √2 π ZMQR= 4, QR:QM=√2:1 4 よって, △QMR は QM=RM の直角二等辺三角形である。 複素数平面

間違いを指摘してもらいたいです

Check 例題 42 等式の表す図形(4) 4 平面図形と複素数 図 EL * 複素数平面上で, 点P(z) が単位円の周上を動くとき, 複素数平 W= 12 (2+1/2) の表す点Q(w)はどのような図形を描くか、 z+

この問題をこのように解いても極形式にならないのですが、どうしたらいいのでしょうか？

B C) BC4に 節末問題 第2節 平面図形と複素数 AABCが2Cを 1 複素数平面上の3点A(/3ー), B(5,/3 +3z), C(2/3 +2i) に対して, ZBAC とAABC の面積を求めよ。 S p.24

(2)です。④の式をどうやって求めたのか分かりません。教えてください。

94 第1章 複素数平面 Check 例題 37 垂線の方程式,垂心 複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(α), B(B), C(y) を定 (1))点Aから直線 BCに垂線!を引くとき, この垂線l上の任意の点 2-1)が成り立つことを証明せよ。 (山形大·改) める。 P(z)について, z-α=By\z (2) △ABCの垂心を a, B, yで表せ。 lel=I8|=lyl=1 まるいて

矢印のところの変換ができません。助けてください。

87 4 平面図形と複素数 例 題 32 図形の形状と複復素数 aは実数、2は複素数とする. 複素数平面上で, a, z, z", zは正方形 の4頂点で,aと が表す頂点は対角線上にある.このような, aとzを すべて求めよ。 第1章 (千葉大) 考え方題意を満たす正方形は2通りあることに 注意する。 (ア) 。 (イ)2 解答 点は点zを点aのまわりに今または -号だけ回転 した点より、 -a-(c(=)+ain(=-) +isin(土 点Bを点aのまわりに0 だけ回転させた点をyと すると, =±i(z-a) 0(複号同順) また,aとz?が対角線上にある正方形であるから, 2ー2=aーz よって, a=zー2?+z ② これを①に代入すると, 2ー(2-z?+z)=±{z-(z°-2°+z)} より, 2?ー2=ー(土i)(zー2) =-(土)z(2°-z) アーa =(cos0+isin0)(8-a) したがって, (2?-2)(1土iz)=0 2?キzであるから, これより, 2=(-1)×(王i)=±i これを②に代入して, a=±ポー土i 土iz=-1 2?とえは正方形の頂点 より,異なる点である。 =王i+1±i るは一回 =1(複号同順) 1は実数より,適する。 よって、求めるaとzの値は, |題意を満たすか確認する。 に aは実数,zは複素数とする. 複素数平面上で, a, 2, 2°, z° はひし形の4頂 32 点で, aと 2が表す頂点は対角線上にある。 このような, aとzをすべて求め のい(千葉大) 東習 よ。

19番がわかりません

図形的な意味について学んだ。ここでは, 平面図形で学んた 上で考え,その性質について考えてみよう。 5 I平面図形と複素数 内分点·外分点 複素数平面上で, 2点 A(α), B(B) に対して, 線分 ABをm : n に内分 する点をP(z) とする。 B(B) P(z) Y4 A(a) m 3点A, P, Bを, それぞれ -aだ け平行移動すると, Aは原点Oに移り, Pは点P'(z-a) に, Bは点B'(B-a) に移る。このとき, 3点0, P', B'は 一直線上にあり, P'はB'の原点から 10 n B(B-a) P(z-a) m lo (8-a) m の距離を m 倍した点であるから, スーQ= m+n m+n na+mB 15 (8-a)= m+n m+n m よって, ス=α+ 外分する点も同じようにして求めると,次のことがいえる。 ID 内分点·外分点 2点A(a), B(B) に対して, 線分AB を m:n に -na+mB 内分する点は na+mB m+n 外分する点は m-n とくに,2点A(a), B(B) を結ぶ線分の中点は α+B である。 2 問 18 2点A(-2+i), B(3+2i) に対して, 線分 ABを 4:1 に内分する点 C(y), 外分する点D(8) をそれぞれ求めよ。 司 19 3点A(a), B(B), C(y) とするとき, △ABCの重心 G(z)を求めよ。

青線から青線への式変形 と赤線から赤線への式変形 の途中式を教えてください