ページ3:

(2) C:f(x) = xe-x+1 と OA: y=x で囲まれる図形の面積Sを求める。
-x+1
-x+1
f(x)− x = xe -x= = x(e¯¯ -1)
▷ 交点を求める。 ① =0より x = 0, x=1
①
▷ 上下関係を確認する。 0<x<1ではe-x+ >1だから①は常に正。
よって,この範囲ではCは y=xの上側にある。
> S = [ { f (x) − x}dx = √ x(e¯**¹ − 1)dx
-x+1
= fxe¯** dx - f' xdx
=
x-(-e)'dx
2
++
=
- [x-(-e)}-{{ x²+(-e)dx ===
'x' (−e™**')dx·
部分積分法
= 1· (-e¹¹) +[-e¯**¹ ] -
= −1 + (-e¹¹) - (-eº¹) — — 1
5
=e--
2

ページ4:

(3)~前半~
g(x)=(log(ax+1)}2
g'(x) = 2.log(ax+1)..
a
ax +1
=
{log(ax + 1)}'
(ax + 1)'
=
ax +1
2a log(ax+1)
ax+1
a · (ax+1)− log(ax+1). a
> #=X¥U* g'(x) = 2a. ax + 1
(ax+1)²
2a² {1-log(ax+1)}
1<ax+1<a+1
(ax+1)²
> 0 < x <1 ⇒ 0<ax <a
⇒
1<ax+1<e
(a = e−1)
⇔
log1 < log(ax + 1) < loge
.. 0 < log(ax + 1) <1
よって, 0<x<1でg" (x)>0だからC2は下に凸。

ページ5:

(3)~後半~
g(x) = {log(ax+1)}²
▷ 置きかえます。 ax + 1 = t とおいて微分すると
adx = dt. dx = = dt
a
また, x:01のときt:1 → a +1 = e
1
▷ △OAB の面積は
2
B
▷ 曲線 C2と x 軸と直線 x=1で囲まれた部分の面積は
Sg(x)dx = ${log(ax +1)} dx 前にもやったことがある気がしてきた
1
= √" (logt)² = dt = ± √'t' - (logt)² dt
a
a
= {[(logt)³ } - ft· 2 logt = dt}
a
==—-— (e-2√° 1' log tdt)
a
e 2
--
II
a a
e
a
2
logŋ];
t logt
―
[t]
a
e
=
{e-(e−1)}
a
a
08
||
e
||
a a
e-
a
e-
-2
e-1
e- -2 -e+3
(∵(1)よりa=e-1)
1
より
T
次ページへつづく
2
e-1
2(e-1)

ページ6:

つづき
5 2e-5
·e +3
▷ S = e--
T
=
より
2
2
2(e-1)
2e-5
-e+3
S-T=
2
2(e-1)
(2e 5)(e-1)-(-e+3)
2(e-1)
以上より
2e27e+5+e-3
2(e-1)
2e2-6e+2
2(e-1)
=
e² - 3e +1
e-1
(e-1)(e-2)-1
e-1
>0
( 2.7 <e < 2.8 ± ¹) (e − 1)(e − 2) >1, e−1>0)
S>T