【Ⅰ型：2次関数】9月第3回全統記述高3模試

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Senior High3

去年の
自学

2025.09.10 公開

高3 数学二次関数全統記述模試過去問赤城 2次関数２次関数平方完成 math 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度 9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅰ型
2 【 I型数学Ⅰ 必須問題】 ( 配点 40点)
a を正の実数とし, 関数 f(x) を
f(x)=x2-2ax-a² +8
で定める. 放物線y=f(x) を C, とし, C,を原点に関して対称移動した放物
線を C2: y = g(x)とする.
(1)Cの頂点の座標を求めよ.
(2)g(x) を求めよ.
(3)CとC2 が-2<x<2の範囲において異なる2点で交わるとき,
(i) αの値の範囲を求めよ.
(ii) C, と C2 の 2 つの交点のうち, x座標が大きい方の点のy座標をmと
する. aが(i)で求めた範囲を動くとき, mのとり得る値の範囲を求めよ.

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自学 @Akagi
f(x)=x2-2ax-a2+8 (a>0)
(1) C:y=f(x)=x2-2ax-a2+8=(x-a)2-2a² +8
よって、頂点の座標は
(a,2a2+8)
(2)Cの頂点を原点対称移動させると
C2 は C, と合同で上下逆だから
(-a, 2a² -8)
g(x) = -(x+a)2 +2a2-8
2
(g(x)=-x2-2ax+α -8)

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(3) -2<x<2で C と C2 が異なる 2点で交わる
i.CとC2の交点のx座標を求めると
x2-2ax-a2+ 8 = -x2 - 2ax + α2-8
∴ x2 - a² + 8 = 0 (x2=α2-8)……①
-
条件を満たすには, ①が異なる2つの実数解をもち, かつ, -2<x<2
を満たせばよさげ。
①が異なる2つの実数解をもつには判別式DがD>0と
なればよいので D = -4(α²+8) > 0 ∴a<-2√2,2√2 <
これとa>0より2√2 <a
<a
-2<x<2,つまり x < 22, すなわち α-8<4となればよい
-2√3<a<2√3
のでq^-12 < 0
これとa>0より 0<a<2√3
アとイをともに満たすαの値の範囲は 2√2 <a<2√3

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ii.CとC2の交点のx座標はi より x2 = q2 - 8
∴x=±va2-8
2
Na
よって大きいほうはx= va²-8 だからy=x2-2ax-a²+8に代入
して y 座標, すなわち m を求めると
-
y = m = (√√a² −8)² −2a√√a² −8 − a² +8 = −2a√a² −8
-
これをαの関数とみると, 2√2 <a<2√3において
a>0, √a² -8> 0
だから ava² -8 はつねに正。
よって, -2ava²-8=mはつねに負(単調減少)となる。
したがって, m の 最小値はα=2√3のときで,
最大値はa=2√2のとき。
a=2√3 のときm=-8√3
a=2√2 のとき m = 0
であるから
-8√3<m<0
2√22√3