【数B 数列】確率漸化式の基本確認

数列

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

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2025.09.15 公開

高3 数学高2 確率漸化式赤城 math

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ノートテキスト

ページ1:

確率漸化式の基本練習①
1から5までの数字を1つずつ書いた5枚のカードが
箱に入っている。 箱の中から1枚のカードを取り出して
もとに戻すことを n回続けて行う.
n
k回目に取り出したカードの数字をak とし, Σak が偶数
k=1
である確率を とする.
n
(1) P1 P2 を求めよ.
(2) Pnfl を p, を用いて表せ.
(3) pm を求めよ.

ページ2:

夕 (偶数) + (偶数)=偶数/ (奇数) + (奇数)=偶数
(1) p,:1回目に取り出したカードの数字が2か4である
2
確率だから
5
p2:1回目が偶数, かつ, 2 回目も偶数である確率だ
2 2 4
からニメ
|=
55
25
(2) n回目が偶数の場合
n+1回目も偶数:
Pnx
2
5
n回目が奇数の場合
n+1回目も奇数:
(1-pm)x
Pont = P. + (1 - P.)
Pn+1
2
・Pn
5
1
:Pn+1
・Pn
+
3
-
5
3
5

ページ3:

3-5
Pn +
5
(3)特殊解型の漸化式を解く練習。
Pn+1
=
1
3
1
特性方程式 α =
a+
5
5
1
を解くと a =
2
Pn+1
-
1
2
1
--
Pn
Pn
5
-12=9.とおく
1
1
5
an
10
元に戻すと
qn+1
-
→ 数列{g}は初項-
1
×
qn'
9₁ = P1
2
10
1
1
公比
--
の等比数列だから
10
5
n-l
1
5
n
1
2
5
==
pn
n
=(-1)+/12
5

ページ4:

確率漸化式の基本練習 ②
2つの箱 A,Bがあり, どちらの箱にも赤玉と白玉が1
個ずつ入っている. それぞれの箱から, 無作為に玉を1個
取り出し, 取り出した玉を交換して箱に戻す操作を繰り返
す. n回の操作の後, 箱 A, B のどちらにも赤玉, 白玉が
1個ずつ入っている確率をp, とする.
(1) P, P2を求めよ.
(3) p を求めよ.
n
(2)P1をpを用いて表せ.

ページ5:

A,B のどちらにも赤玉・白玉が入っているのは
○同じ色の玉を取り出す
○ ちがう色の玉を取り出し, 次に*1 個ずつ取り出す
*必ずどちらにも赤・白が入っているようになる
(1) p,:2 つの箱から同じ色の玉を取り出せばよいので
1
1 1 1
P₁
=
-X
×
- =
2 2 22
2
P21回目に
ア 2つの箱から同じ色の玉を取り出した場合
111
- X
=
2 2 4
イ 2つの箱からちがう色の玉を取り出した場合
(
1
|x1=
2
2
アとイは互いに排反だから
P2
==
1 13
+
|=
4 2 4

ページ6:

(2) n回目の後, 2つの箱の中がそれぞれ
ちがう色の場合
Pn x
2
同じ色の場合
(1-pm)x1
P1+1=12P,+(1-pm)=
-
1
2 Pn
+1

ページ7:

(3)特殊解型の漸化式を解く練習
~置きかえなしバージョン~
1
1
公比
Pn+1
-
2 Pn
+1
a
α+1
2
2
.. a
3
初項
2
1.
6
:.pn+1
:.pn
:. Pn
2
2
-
3
=
-
1
-
1
2
pn
1
3 6 2
n
2
=(-1)+/3/
2
2
--
3
n-1
,
P1
-
3
=/(-1)
3
GOOD LUCK♪
2
n