【Ⅱ型：指数対数関数】9月第3回全統記述高3模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior HighAll

去年の
自学

2025.09.21 公開

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ノートテキスト

ページ1:

4
2024年度 9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅱ型
【I型数学Ⅱ, B 選択問題】 (配点 50点)
0<a<2かつa≠ 1 を満たす定数 αに対し, 関数 f(x) を
で定める.
(1)t=
f(x) = (logox)2 +10ga
2√a
=logxとおくとき, f(x) をtとα を用いて表せ .
(2)1≦x≦2 における f(x) の最小値をmとおく.
(i) a=√2のときのmを求めよ. また, a =
(ii)
m = -となるようなaの値を求めよ.
m=-
2
のときのm を求めよ.

ページ2:

自学 @Akagi
f(x) = (log x)² + loga
a
(1) 真数条件(真数は正) により x > 0,
▷ (log₁ x)² = t²
2√a
▷ loga
2√√a
x"
2√a
>0 だからx > 0
= log 2√α-log x² = log 2+ log √a − 2log x
a
a
=
-log, 2+1-2log, x
1
= log 2+
2t
2
£>T f(x) = 1² + (log, 2+1 — — 21) = 1² - 21+ log, 2+1/1

ページ3:

1
(2) f(x) = t2-2t + loga 2 +
2
10g2=
log, 2
1
2
log₂ √2
1
10g2
2
i.1≦x≦2の最小値を
2
|>
a=1/2のとき
2
t = log₁
xより
▷a=√2のとき
t = 10g、xより
log√21≤log√2 x ≤ log√ √ 2
0≤t≤2
f(x)=12-2t+log.2
=(t-1)2 +
1
2
log, 1≦log, x≦log」
2
2
∴-1≦t≦0
2
2
f(x)=12-2t+10g2+12
=(t-1)^
2
2
軸が0≦t≦2の中にあるから
軸が-1≦t≦0より右にあるから
3
m =
= f(1) =
m =
= f(0) =
2
2
0
1 2
-1
01

ページ4:

(2) f(x) = t2-2t + loga 2 +
2
ii.iを参考にして底αが1より大きいときと1より小さいときに分けて考え
てみます。
(ア) 1 <a<2のとき
a
a
▷ 1≦x≦2より10g 1≦log x≦loga 2 ..0≤t≤loga
2
・①
ここで, a <2より10ga<10g 2だから
a
1<loga 2
よって、軸が①の中にあるのでt=1で最小値をとるから
m=f(1) = log 2
a
2 4
3
.. loga 2:
==
4
これは②を満たさないから不適(´・ω・`
0<a<1
▷ 1≦x≦2よりlog 1≧log x≧log 2だから10g 2≦t≦0.③
よって, 軸が③より右にあるので t=0で最小値をとるから
1
---
4
1
1
m = = f(0) = loga 2+
2
∴. loga
=-
1
. a
= 2
-4
∴a=2
=
||
これは0<a<1を満たす。
16
=
= 10ga
a
4