【高3 円】10月第2回ベネ駿記述模試

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.10.13 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学 @Akagi
Y問題
Y4 0を原点とする座標平面上において,点 (0, 1) を中心とし, 半径
が2である円をCとする。 円Cとx軸の交点を A, B とする。 ただし,
点Aのx座標は点Bのx座標より小さいものとする。 また、点Pは円
Cのy>0の部分を動くものとする。
(1)点 A, B の座標をそれぞれ求めよ。
(2) AP2 + BP2の最大値と,そのときの点Pの座標を求めよ。
(3) OP2 + BP2の最大値と,そのときの点Pの座標を求めよ。
(配点 50 )

ページ2:

(1)円Cの方程式は
x²+(y-1)² = 4
①で,y=0とおくと
x² + (0-1)²=4
x² = 3
x=±√3
А¸ <B¿½ А = −√3
x
x
B₁ =√√3
A(-√√3, 0), B(√3, 0)
Ẻ @Akagi c
A
3
10
B

ページ3:

(2)点Pの座標をP(X, Y) とおく。
Pは円Cのy>0の部分を動くから
0<Y≤3
Pは円C上の点だから
X2+(Y-1)^ =4
→ X2 =4-(Y-1)2
....
2点間の距離の公式により
AP2 = (X + √√3)2 + Y2
(3)
BP² = (X −√3)² + y²
A
P
1
3
B
よって
③より
AP2 + BP2 = (X + √3)2 +12+(X-√3)2 + Y2
=2X2 + 2Y2 +6
=2{4-(Y-1)^}+2y2+6 Xを消去
=4Y +12
②より, Y =3のとき最大となり, 最大値は4×3+12 = 24をとる。
このとき,③より x2=4-(3-1)^=0だからX=0。
最大値 24 P(03)

ページ4:

(3) やりたくない・・・
点Pの座標をP(X, Y)とすると,(2)と同様に
0<Y≤3
X2 +(Y-1)^ =4
→X2 + Y2 = 2Y +3
2点間の距離の公式より
OP2 = X2 + 12
BP2 = (X-√3) +Y2
よって
A
OP2 + BP2 = 2(X2 +82) - 2√3X + 3
=
②を代入して=2(2Y + 3) - 2√3X + 3
= -2√3X + 4Y + 9
y切片が
3
最大
0
B
(3)
√√3
k-9
3 = k とおくと
- 2√3X + 4Y +9 =k ∴Y:
=.
X +
……l
4
切片
k-9
③が最大=kが最大= -が最大=直線lと円が第2象限で接する
4
点(0, 1)と直線-2√3X + 4Y + 9-k=0との距離が,半径 2となるのは
1_|-2√3x0 +4×1+9-k|_|13-k|=2
=
(-2√3)2 +42
√28
13-k|=4√7
∴.13 -k = ±4√7
∴k=13+4√7
図からk=13+4√7
最大値
点Pの座標を求めます。
このとき,直線lは Y=
-X +(1+√7)
4
2
つづく

ページ5:

つづき
一方,円の中心(0, 1)を通り, 直線lに垂直な直線の方程式は
2
Y-1=--
=(X-0)
√3
Y:
=-
√3
X+1
④と⑤の交点が点P だから, Yを消去すると
√3
2
2
-X + (1 + √7) = — — 7/3 X
7√3
6
X = √7
2√√21
X +1
:.X
=
7
2 2√21
7+4√√7
これを5に代入してY=
×
+1=
√3
7
7
2√21
7+4√7
したがって、点Pの座標は
7
7
以上より
2√21
最大値 13 + 4√7
7+4√7
7
7