ノートテキスト
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2024 年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi X 問題 X8 次のデータは, 10人の生徒について 行った数学のテストの得点である。 ただし, 階級(点) 以上 以下 度数 (人) 10 ~ 19 0 てすとのとくてんは整数値である。 20 ~ 29 4 30 39 5 33, 27, 23, 34, 39, 30, 37, 25, a, b 40 ~ 49 1 合計 10 得点の平均点は 31 点, 得点の範囲は20点である。 ただし, a<bである。 また,右の表は,そのデータを度数分布表にまとめたものである。 (1) a+bの値を求めよ。 また, 得点の中央値を求めよ。 (2) a,bの値をそれぞれ求めよ。 (3)新たに2人の生徒が同じ数学のテストを受けたところ, 得点はそれ ぞれx点, y点(a)であった。 x点, y点を10人の得点と合わせ た 12 人分の得点の平均値が 32点,分散が 45 であったとき, x, y の値をそれぞれ求めよ。 (配点 40)
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(1)平均値 31点だから 自学@Akagi 33 + 27 + 23 + 34 + 39 + 30 + 37 + 25 + a + b -=31 10 248 + a + b よって = 31 より a + b = 62 10 62 ▷ 中央値 データと度数分布表を照らし合わせてみると 階級(点) 度数 以上 以下 (人) 10 ~ 19 0 ~ 29 4 23,25,27, a ~ 39 5 ||30,33,34,37,39 ~ 49 1 10 20 30 40 合計 小さい方から5番目が 30点 6番目が 33点だから、 中央値 は (30+33) + 2 = 31.5 答 31.5(点)
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(2)(1)より a+b=62 bの値の範囲は40≦b≦49 ①、②より よって 40≦62-a≦49 13≦a≦22 a が最低点 aが最低点でbが最高点であり、データの範囲が 20 点だといって いるから b-a=20 ①と④を連立方程式として解くと |a=21 b = 41 これらは②や③を満たしている。 ④ 答 a = 21 |b=41
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(3) 分散の公式を使って地道に求めるのがいいのかな。 o12人の平均が32 点だから (31×10 + x + y)÷12 = 32 ∴x + y = 74 ○ それぞれの偏差の2乗を求めると ・(33−32)²=1 ・(27-32)^=25 ・(23-32)=81 • • (34-32)²=4 • (39-32)=49 ・(30-32)=4 •(37-32)²=25 (25-32)=49 • (21-32)^=121 ・(41-32)²=81(x-32) ⚫(y-32)² これらの平均が分散だから偏差の2乗の平均=分散 (1 + 25 +81 + 4 + 49 + 4 + 25 + 49 + 121+81)+(x-32)2 + +(y-32) = =45 よって 12 440+(x-32)^+(y-32)²=540 (x-32)2+(y-32)^=100 ①を②に代入して y を消去すると (x-32)+(74-x-32)²=100 x 2 - 64x + 1024 + x2 - 84x + 1764 = 100 x2-74x + 1344 = 0 (x-32)(x-42) = 0 x=32, x=42 これらと① より x=32のときy = 42 x= =42のときy=32 = 42 のときy=32は問題に適していない。 x<yだから、 x= 答 x = 32, y = 42
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