【高3 平面ベクトル】10月第2回ベネ駿記述模試

747

Senior HighAll

2025.10.15 公開

Comment

Comments are disabled for this notebook.

ノートテキスト

ページ1:

2024 年度 10 月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi
Y問題
3
Y 6 △OAB があり, OA = 2, OB = 1, cos ∠AOB
---
で である。
4
辺 OBの中点をCとし, 点Dを60D = 70A + 5ABで定まる点とする。
また, OA = a, OB = b とする。
(1) 内積abの値を求めよ。 また, OD を a, b を用いて表せ。
(2)直線 CD 上に点Pを, CP = tCD (tは実数)を満たすようにとる。
点Pが直線AB上の点でもあるとき, tの値を求めよ。
(3) 線分 AB を直径とする円をKとする。 (2)で定めた点P に対して,
線分 OP の点Pの側への延長線と円 K の交点をQ とする。 OQを
a,b を用いて表せ。
(配点 50)

ページ2:

2
@Akagi
(1) 内積の定義 a b = |a|||cos∠AOB
3
= 2x1× (-4)
3
2
始点の統一 60D = 70A + 5AB
.. 60D = 70A +5(OB - OA)
.. 60D = 20A +50B
B
1
5
.. OD
=
OA
3
OA+- OB
6
OD=a+
3

ページ3:

(2)CP = fCD ※OP を表してから係数和1の法則
始点の統一により
OP - OC = f(OD - OC)
OC = 1/1b,
1→ 5±
OD = -a+-bより
3 6
1→ 5
→
→
1
OP-16=(+10) OP-+-+----
=t=a+ -b
3.
--
2
..
=
1
ta (−t
*
3
3
点 P は直線 AB上にあるから, 係数和1の法則 ( 係数の和が1)より
t+ -t+
+1 +1 1+1+1=1
3 3.
3
..t=
4
B

ページ4:

(3) 0, P, Qは一直線上にあるから, 共線条件より
OQ = KOP
→
とおける。 (2)よりOP
== a + = b²=4+5
3.
4
4
1
3
OQ
=
4
4
0Q-ka+kb
一方, 直径 AB に対する円周角は90度だから, ベクトルの垂直条件
より
.
AQ BQ=0 ...**
1
→
3
ここで
▷ AQ=OQ - OA = (±ka+²±²kb) - à = (−— k − 1)a +
-
+kb
4
4
3
=
▷ BQ = OQ-OB = (-ka+-kb)-b
4
4
これらを**に代入して内積の値を地道に求める。
3
-ka+(k−1)b=0x4
4
-k−1)a+kb
(k-4)a+3kb)}. \ka+(3k – 4)ē
-
-
- – 4)b} = 0
4
-ka+(k-1)b
||a| = 2,|b| = 1,
a. b
2
B
k(k − 4) | a |² +(k − 4)(3k -4)a·b+3k² a·⋅ b + 3k (3k − 4) | b |² = 0
-
k(k − 4)× 2² + (k − 4)(3k − 4) × (−·
3.
a.
+3k² × (--
3. 9 2
3
-
+3k(3k − 4)×1² = 0
4k² −16k+(3k² −16k+16)×(−
—-— — — k² + 9k² - 12k = 0
9
4k²-16k-
2
k² -k-6=0
2
2
k2 +24k-24- -k² +9k² −12k = 0
2
(k+2)(k-3)= 0 k = -2, 3
OQ > OP だからk>1より
よって、
3
k = 3
3 →
4
OQ ==×3a+×3b=—a+−b[